Endomorphismen nachweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Lyla93 |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum
a) Zeigen Sie, dass für jeden Endomorphismus F:V->V und jedes z E K [mm] U_{z}:=\{v E V | F(v) = z*v\} [/mm] ein Unterraum von V ist.
b)Sei f: K[x]->K[x], [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k [/mm] -> [mm] \summe_{k=1}^{n} k*a_{k}*X^{k-1}
[/mm]
und
g:K[x]->K[x], [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k [/mm] -> [mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k}/k+1)*X^{k+1}.
[/mm]
Weisen sie nach, dass f und g Endomorphismen sind
c) Mit f,g wie in b) sei F:K[x]->K[x] durch F(v):=(fog)(v) - (gof)(v) definiert. Bestimmen Sie eine Basis von [mm] U:=\{v E V | F(v)=v\} [/mm] |
Die Aufgabe a) konnte ich lösen, würde aber gerne wissen, ob das so passt:
a)
Ich zeige: [mm] U_{z} [/mm] ist ein Unterraum von V mit HIlfe der Unterraumaxiome:
(U1): [mm] U_{z} [/mm] ungleich Leere Menge: Für den Nullvektor [mm] v_{o} [/mm] gilt: [mm] z*v_{o}=0 [/mm] (wieder der Nullvektor) und zwar für jedes z E K und jeden Endomorphismus. => Nullvektor ist ein Element von [mm] U_{z} [/mm] => [mm] U_{z} [/mm] ungleich Leere Menge.
(U2): zz: v,w E V => v+w E [mm] U_{z}:
[/mm]
F(v)+F(w) = (da Endomorphismus) F(v+w) =z*(v+w) E [mm] U_{z}, [/mm] da v+w wieder E V (wegen der additativen abgeschlossenheit des Vektorraumes V)
(U3): zz.: v E V, u E K => u*v E [mm] U_{z}
[/mm]
u*F(v) = (nach Def. des Endomorphismus) F(u*v) = u*v*z, da u,z beides aus K, ist auch u*z aus K (abgeschlossenheit der Multiplikativität eines Körpers), also folgt: u*z*v E [mm] U_{z}.
[/mm]
Damit ist gezeigt: [mm] U_{z} [/mm] ist ein Untervektorraum von V.
Die b) und c) konnte ich nicht lösen, da bräuchte ich dringend Hilfe. Bei der b) hatte ich bisher nur die Idee zu zeigen:
Wenn f Endomorphismus, dann gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k*a_{k}*X^{k-1}. [/mm] Äquivalent dazu das gleiche mit g. Ich habe es versucht, bei mir kommt da aber nicht das selbe raus.
Über jegliche Hilfe wäre ich echt dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 02.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei V ein K-Vektorraum
> a) Zeigen Sie, dass für jeden Endomorphismus F:V->V und
> jedes z E K [mm]U_{z}:=\{v E V | F(v) = z*v\}[/mm] ein Unterraum von
> V ist.
> b)Sei f: K[x]->K[x], [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k[/mm] ->
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k*a_{k}*X^{k-1}[/mm]
> und
> g:K[x]->K[x], [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k[/mm] ->
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (a_{k}/k+1)*X^{k+1}.[/mm]
> Weisen sie nach,
> dass f und g Endomorphismen sind
> c) Mit f,g wie in b) sei F:K[x]->K[x] durch F(v):=(fog)(v)
> - (gof)(v) definiert. Bestimmen Sie eine Basis von [mm]U:=\{v E V | F(v)=v\}[/mm]
>
> Die Aufgabe a) konnte ich lösen, würde aber gerne wissen,
> ob das so passt:
>
> a)
> Ich zeige: [mm]U_{z}[/mm] ist ein Unterraum von V mit HIlfe der
> Unterraumaxiome:
> (U1): [mm]U_{z}[/mm] ungleich Leere Menge: Für den Nullvektor
> [mm]v_{o}[/mm] gilt: [mm]z*v_{o}=0[/mm] (wieder der Nullvektor) und zwar für
> jedes z E K und jeden Endomorphismus. => Nullvektor ist ein
> Element von [mm]U_{z}[/mm] => [mm]U_{z}[/mm] ungleich Leere Menge.
> (U2): zz: v,w E V => v+w E [mm]U_{z}:[/mm]
> F(v)+F(w) = (da Endomorphismus) F(v+w) =z*(v+w) E [mm]U_{z},[/mm]
> da v+w wieder E V (wegen der additativen abgeschlossenheit
> des Vektorraumes V)
Vorsicht: Richtig ist $F(v)+F(w) = (da Endomorphismus) F(v+w)$. $v,w$ sind NICHT aus $V$ genommen, sondern aus [mm] $U_{z}$! [/mm] Da [mm] $u,v\in U_{z}$, [/mm] ist die linke Seite $zv+ zw$. Nach den VR-Axiomen ist dies $=z(v+w)$; alles zusammen gepackt hast Du nun $z(v+w)= $zv+ zw= F(v)+F(w) = F(v+w)$, also tatsaechlich $F(v+w)= z(v+w)$ und damit [mm] $v+w\in U_{z}$.
[/mm]
> (U3): zz.: v E V, u E K => u*v E [mm]U_{z}[/mm]
> u*F(v) = (nach Def. des Endomorphismus) F(u*v) = u*v*z, da
> u,z beides aus K, ist auch u*z aus K (abgeschlossenheit der
> Multiplikativität eines Körpers), also folgt: u*z*v E
> [mm]U_{z}.[/mm]
> Damit ist gezeigt: [mm]U_{z}[/mm] ist ein Untervektorraum von V.
Siehe oben: [mm] $v\in U_{z}$; [/mm] ich kann nicht beurteilen, ob Du wirklich begriffen hast, weshalb [mm] $uv\in U_{z}$, [/mm] aber Dein Text sieht nicht schlecht aus. Ich haette es so geschrieben: Sei [mm] $u\in [/mm] K$ und [mm] $v\in U_{z}$. [/mm] z.z. $F(uv)= zuv$.
Es ist [mm] $F(uv)\stackrel{F Endo.}{=} uF(v)\stackrel{v\in U_{z}}{=}uzv= [/mm] zuv$.
>
> Die b) und c) konnte ich nicht lösen, da bräuchte ich
> dringend Hilfe. Bei der b) hatte ich bisher nur die Idee zu
> zeigen:
> Wenn f Endomorphismus, dann gilt: [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}*X^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} k*a_{k}*X^{k-1}.[/mm] Äquivalent dazu das
> gleiche mit g. Ich habe es versucht, bei mir kommt da aber
> nicht das selbe raus.
>
> Über jegliche Hilfe wäre ich echt dankbar.
Pruefe die Axiome nach. Z.B. die Additivitaet: seien $u= [mm] \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}$ [/mm] und $v= [mm] \sum_{k=0}^{m} b_{k}X^{k}$. [/mm] OBdA $n=m$. Da $u+v= [mm] \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k}+ \sum_{k=0}^{n} b_{k}X^{k}= \sum_{k=0}^{n} (a_{k}+b_{k})X^{k}$. [/mm] Also $f(u+v)= [mm] \sum_{k=1}^{n} k(a_{k}+b_{k})X^{k-1}= \sum_{k=1}^{n} ka_{k}X^{k-1}+kb_{k}X^{k-1}= \sum_{k=1}^{n} ka_{k}X^{k-1}+ \sum_{k=0}^{n}kb_{k}X^{k-1}= [/mm] f(u)+ f(v)$.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 02.12.2012 | | Autor: | Lyla93 |
Zur a) Ich habe lange überlegt ob ich nun v aus Uz wähle oder aus V. Ich dachte, man nimmt es aus V weil Uz ja Unterraum von V ist, aber das ist falsch, weil ja nicht jedes v aus V in Uz liegt, sehe ich das richtig?
zur b) Überprüfe ich dann erst für f jeweils ob gilt f(v+w)=f(v)+f(w) und f(n*v)=n*f(v) für alle v,w aus Uz und n aus K - danach das gleiche nochmal mit g?
hättest du noch einen tipp für mich zur c)? die basis eines polynoms war bei uns bisher immer so etwas wie (1,x,x²,x³), falls der grad kleiner gleich 3 war. Hier habe ich ja eine Verknüpfung fog minus der Verknüpfung gof und soll davon eine Basis bestimmen.
Auf jeden Fall schon mal vielen lieben Dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 03.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Zur a) Ich habe lange überlegt ob ich nun v aus Uz wähle
> oder aus V. Ich dachte, man nimmt es aus V weil Uz ja
> Unterraum von V ist, aber das ist falsch, weil ja nicht
> jedes v aus V in Uz liegt, sehe ich das richtig?
Ja.
>
> zur b) Überprüfe ich dann erst für f jeweils ob gilt
> f(v+w)=f(v)+f(w) und f(n*v)=n*f(v) für alle v,w aus Uz und
> n aus K - danach das gleiche nochmal mit g?
Ja.
>
> hättest du noch einen tipp für mich zur c)? die basis
> eines polynoms
Nicht Polynom: Basis eines Vektorraumes (von Polynomen)
> war bei uns bisher immer so etwas wie
> (1,x,x²,x³), falls der grad kleiner gleich 3 war. Hier
> habe ich ja eine Verknüpfung fog minus der Verknüpfung
> gof und soll davon eine Basis bestimmen.
Nein: Es ist eine Basis zu $U= [mm] \{v\in V|F(v)= v\}$ [/mm] gesucht. Mache Dir zuerst die Bedeutung von $F$ klar: Es ist Dir vermutlich aufgefallen, dass $f$ der Ableitungs- und $g$ der Stammfunktionoperator ist. Dadurch kann man sich klarmachen, was $F$ eigentlich bewirkt. Es genuegt [mm] $F(x^{k})$ [/mm] "auszurechnen", weil $F$ linear ist, und die [mm] $x^{k}$ [/mm] eine Basis bilden. Wenn Du Dir ueber $F$ Klarheit verschafft hast, dann kannst Du ueberlegen, welche Elemente $U$ enthaelt und eine Basis zu diesem Unterraum finden.
>
> Auf jeden Fall schon mal vielen lieben Dank! :)
Gerne!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:37 So 02.12.2012 | | Autor: | Lyla93 |
Noch was zur b):
Ich weiße jetzt also die Additivität und die Multiplikation nach und zeige auch, dass die Menge nicht leer ist. Mache ich dass dann (jetzt nur auf die f bezogen) nur für [mm] akX^k, [/mm] oder auch für k*akX^(k-1)?
Und mit diesen Axiomen zeige ich doch nur einen Homomorphismus, wie zeige ich, dass es sich um einen Endomorphismus handelt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Mo 03.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Noch was zur b):
> Ich weiße jetzt also die Additivität und die
> Multiplikation nach und zeige auch, dass die Menge nicht
> leer ist. Mache ich dass dann (jetzt nur auf die f bezogen)
> nur für [mm]akX^k,[/mm] oder auch für k*akX^(k-1)?
Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, was Du damit sagen willst.
> Und mit diesen Axiomen zeige ich doch nur einen
> Homomorphismus, wie zeige ich, dass es sich um einen
> Endomorphismus handelt?
Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus, der den VR wieder in sich selber abbildet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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