Endliche Untergruppe C * zykl. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 01.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Zeige: Jede endliche Untergruppe G von [mm] (\IC,*) [/mm] ist zyklisch. |
Heyho!
Was relativ klar ist, ist, dass G eine Untermenge vom Einheitskreis ist.
Also gilt ja, dass Elemente der Form [mm] e^{i*a} [/mm] wobei [mm] a\in(0,2*\pi] [/mm] sind.
Ich will jetzt zeigen, dass gilt [mm] min\{a\in(0,2*\pi]|e^{i*a}\in G\}=\bruch{2*\pi}{ord(G)}
[/mm]
Ich hab schon gezeigt, dass es nicht kleiner sein kann, denn dann gilt:
[mm] (e^{(i*min\{a\in(0,2*\pi]|e^{i*a}\in G\})})^{ord(G)}\not=1
[/mm]
Aber wie zeige ich, dass es nicht größer sein kann? Kann man irgendwie darausfolgern, dass die Gruppenordnung dann kleiner wäre als sie wirklich ist?
Grüße
icarus89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:38 So 02.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige: Jede endliche Untergruppe G von [mm](\IC,*)[/mm] ist
> zyklisch.
>
> Was relativ klar ist, ist, dass G eine Untermenge vom
> Einheitskreis ist.
Ja.
> Also gilt ja, dass Elemente der Form [mm]e^{i*a}[/mm] wobei
> [mm]a\in(0,2*\pi][/mm] sind.
> Ich will jetzt zeigen, dass gilt
> [mm]min\{a\in(0,2*\pi]|e^{i*a}\in G\}=\bruch{2*\pi}{ord(G)}[/mm]
Also, nach Fermat ist ja [mm] $g^{ord(G)} [/mm] = 1$ fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$. Damit folgt, dass $ord(G) [mm] \cdot [/mm] a [mm] \frac{1}{2 \pi}$ [/mm] eine ganze Zahl sein muss, falls $g = [mm] e^{i a}$ [/mm] sein soll. Damit kannst du eine (endliche) zyklische Untergruppe vom Einheitskreis angeben, in der $G$ enthalten ist.
Weisst du etwas ueber Untergruppen von zyklischen Gruppen?
Alternativ kannst du auch den Hauptsatz ueber endliche abelsche Gruppen nehmen und benutzen, dass ein Polynom vom Typ [mm] $x^n [/mm] - 1$ hoechstens $n$ Nullstellen in $K = [mm] \IC$ [/mm] hat. (Dieser Beweisansatz funktioniert uebrigens fuer alle Koerper.)
LG Felix
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