Endliche Stoppzeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:39 Fr 06.06.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei $T$ eine Stoppzeit bezüglich [mm] $(\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] mit
[mm] $\exists\epsilon>0\ \forall n\in\mathbb{N}\ \exists m\geq [/mm] n:\ [mm] P[T\leq m|\mathcal{F}_n]\geq\epsilon$ [/mm] $P$-f.s.
Zeigen Sie: [mm] $T<\infty$ [/mm] gilt $P$-fast sicher. |
Hi,
zunächst beobachte ich, dass die Voraussetzung auch bedeutet:
[mm] $\exists\epsilon>0\forall n\in\mathbb{N}\exists m\geq n:P(T>m|\mathcal{F}_n)\leq 1-\epsilon$ $(\*)$
[/mm]
ich wollte mir erstmal $P(T>m),\ [mm] m\in\mathbb{N}$, [/mm] anschauen:
[mm] $P(T>m)=\bigcup_{k=m+1}^\infty P(T\geq k)\leq\sum_{k=m+1}^\infty P(T\geq k)=\sum_{k=m+1}^\infty\sum_{n=m+1+kl}^{m+(k+1)l}P(T\geq [/mm] n)$
[mm] $\leq\sum_{k=m+1}^\infty\sum_{n=m+1+kl}^{m+(k+1)l}P(T\geq m+1+kl)=\sum_{k=m+1}^\infty\sum_{n=m+1+kl}^{m+(k+1)l}lP(T\geq [/mm] m+1+kl)$
[mm] $=\sum_{k=0}^\infty lE[\mathbf{1}_{\{T\geq m+1+kl\}}]$ $(\*\*)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=0}^\infty lE[\mathbf{1}_{\{T\geq m+1+kl\}},T\geq [/mm] m+1+(k-1)l]$
[mm] $=\sum_{k=0}^\infty lE[E[\mathbf{1}_{\{T\geq m+1+kl\}}|\mathcal{F}_{m+1+(k-1)l}],T\geq [/mm] m+1+(k-1)l]$
[mm] $\stackrel{(\*)}{\leq}\sum_{k=0}^\infty lE[(1-\epsilon)\mathbf{1}_{\{T\geq m+1+(k-1)l\}}]\cdots$
[/mm]
Wiederholt man die Schritte ab [mm] $(\*\*)$ [/mm] $k$-mal, so landen wir bei
[mm] $\cdots\sum_{k=0}^\infty l(1-\epsilon)^kP(T\geq m+1)=\frac{l}{\epsilon}P(T\geq [/mm] m+1)$
Insgesamt haben wir also: [mm] $P(T>m)\leq\frac{l}{\epsilon}P(T\geq [/mm] m+1)$
Da aber [mm] $l\geq \epsilon$, [/mm] bringt mir das Resultat ziemlich wenig, um [mm] $P(\lim_{m\to\infty}T=m)=0$ [/mm] zu zeigen.
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 08.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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