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| Aufgabe | Gegeben sei die achtelementige Menge [mm] Q_8 [/mm] = [mm] {\pm1,\pmi,\pmj,\pmk}. [/mm] Zeigen Sie, dass es genau eine Verknüpfung [mm] \circ [/mm] : [mm] Q_8 \times Q_8 \to Q_8 [/mm] gibt, so dass [mm] (Q_8, \circ) [/mm] eine Gruppe ist, und die neben den üblichen Vorzeichenregeln die folgende Relationen erfüllt:
i [mm] \circ [/mm] i = j [mm] \circ [/mm] j = k [mm] \circ [/mm] k = i [mm] \circ [/mm] j [mm] \circ [/mm] k = -1. (2.)
Ist [mm] (Q_8, \circ) [/mm] abelsch? |
Habe dieses Jahr angefangen Physik zu studieren. Sollen nun in linearer Algebra diese Aufgabe lösen. Da ich erst 3 Vorlesungen hatte und vor Abgabe leider keine Übung habe komme ich da bisher nicht wirklich weit...
Die erste Frage ist, was hier überhaupt genau zu tun ist, bzw wie man dabei vorgehen muss.
Habe die Aufgabe so aufgefasst, dass ich zuerst beweisen muss dass [mm] Q_8 [/mm] überhaupt eine Gruppe ist.
Dies habe ich folgendermaßen gemacht:
1.
Sei [mm] (Q_8, \circ, [/mm] e) Gruppe mit i, j, k [mm] \in Q_8
[/mm]
Dann gilt:
(i) [mm] \forall [/mm] i, j, k [mm] \in Q_8 [/mm] gilt i [mm] \circ [/mm] (j [mm] \circ [/mm] k) = (i [mm] \circ [/mm] j) [mm] \circ [/mm] k
(ii) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in Q_8 [/mm] mit e [mm] \circ [/mm] i = i [mm] \forall [/mm] i [mm] \in Q_8 [/mm]
(iii) [mm] \forall [/mm] i [mm] \in Q_8 \exists [/mm] i^-1 [mm] \in Q_8 [/mm] mit i [mm] \circ [/mm] i^-1 = e , i^-1 = -i
Ist hiermit nun bewiesen dass [mm] Q_8 [/mm] eine Gruppe ist?
Anfangs dacht ich das aber im Grunde hab ich doch nur die Axiome abgeschrieben oder?
Zu 2.:
Hier muss ich mir überlegen welche Verknüpfung in Frage kommt, allerdings macht weder * noch + geschweige denn / für mich Sinn
Fühl mich ohne Übungsstunden leider leicht überfordert diese Aufgabe zu lösen, bzw einen Ansatz zu finden...
Zum neutralen Element:
Konnte ich hier noch nicht genauer definieren, da ich Verknüpfung nicht rausbekommen habe.
Weiß aber e=1 wenn die Verknüpfung * ist und e=0 bei +
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Martin_Ph |
War leider zu langsam den Fälligkeitszeitraum zu ändern
Aufgabe ist schon am Freitag fällig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Do 24.10.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Martin_Ph,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die achtelementige Menge [mm]Q_8[/mm] =
> [mm]{\pm1,\pmi,\pmj,\pmk}.[/mm] Zeigen Sie, dass es genau eine
> Verknüpfung [mm]\circ[/mm] : [mm]Q_8 \times Q_8 \to Q_8[/mm] gibt, so dass
> [mm](Q_8, \circ)[/mm] eine Gruppe ist, und die neben den üblichen
> Vorzeichenregeln die folgende Relationen erfüllt:
>
> i [mm]\circ[/mm] i = j [mm]\circ[/mm] j = k [mm]\circ[/mm] k = i [mm]\circ[/mm] j [mm]\circ[/mm] k = -1.
> (2.)
>
> Ist [mm](Q_8, \circ)[/mm] abelsch?
> Habe dieses Jahr angefangen Physik zu studieren. Sollen
> nun in linearer Algebra diese Aufgabe lösen. Da ich erst 3
> Vorlesungen hatte und vor Abgabe leider keine Übung habe
> komme ich da bisher nicht wirklich weit...
>
> Die erste Frage ist, was hier überhaupt genau zu tun ist,
> bzw wie man dabei vorgehen muss.
In dieser Aufgabe steht [mm] $Q_8 [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \ldots$.
[/mm]
Aus welchen Elementen außer +1 und -1 besteht [mm] $Q_8$?
[/mm]
Ist damit die ![[]](/images/popup.gif) Quaternionengruppe gemeint?
Die nachfolgenden Bedingungen in der Aufgabe legen dies nahe.
>
> Habe die Aufgabe so aufgefasst, dass ich zuerst beweisen
> muss dass [mm]Q_8[/mm] überhaupt eine Gruppe ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dies habe ich folgendermaßen gemacht:
>
> 1.
> Sei [mm](Q_8, \circ,[/mm] e) Gruppe mit i, j, k [mm]\in Q_8[/mm]
Warum [mm] $(Q_8, \circ, [/mm] e)$ und nicht [mm] $(Q_8, \circ)$?
[/mm]
>
> Dann gilt:
> (i) [mm]\forall[/mm] i, j, k [mm]\in Q_8[/mm] gilt i [mm]\circ[/mm] (j [mm]\circ[/mm] k) = (i
> [mm]\circ[/mm] j) [mm]\circ[/mm] k
Woraus schließt du das?
Wenn es sich um die Quaterionengruppe handelt, sollte man für beliebige,
aber feste Elemente aus [mm] $Q_8$ [/mm] nicht i, j oder k sondern andere Variablennamen nehmen.
>
> (ii) [mm]\exists[/mm] e [mm]\in Q_8[/mm] mit e [mm]\circ[/mm] i = i [mm]\forall[/mm] i [mm]\in Q_8[/mm]
>
> (iii) [mm]\forall[/mm] i [mm]\in Q_8 \exists[/mm] i^-1 [mm]\in Q_8[/mm] mit i [mm]\circ[/mm]
> i^-1 = e , i^-1 = -i
>
> Ist hiermit nun bewiesen dass [mm]Q_8[/mm] eine Gruppe ist?
> Anfangs dacht ich das aber im Grunde hab ich doch nur die
> Axiome abgeschrieben oder?
Nein, das ist noch nicht bewiesen. Du mußt diese Axiome für alle Elemente
$+1,-1,+i,-i,+j,-j,+k,-k$ nachweisen. Eins davon ist das neutrale Element,
vermutlich +1.
Außerdem musst du noch zeigen, dass genau eine Verknüpfung gibt,
die die Bedingungen der Aufgabe erfüllt.
>
> Zu 2.:
>
> Hier muss ich mir überlegen welche Verknüpfung in Frage
> kommt, allerdings macht weder * noch + geschweige denn /
> für mich Sinn
Ist bei 2. nicht gefragt ob [mm] $(Q_8, \circ)$ [/mm] abelsch, also kommutativ, ist?
>
> Fühl mich ohne Übungsstunden leider leicht überfordert
> diese Aufgabe zu lösen, bzw einen Ansatz zu finden...
>
> Zum neutralen Element:
> Konnte ich hier noch nicht genauer definieren, da ich
> Verknüpfung nicht rausbekommen habe.
> Weiß aber e=1 wenn die Verknüpfung * ist und e=0 bei +
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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Danke schon mal für die Hilfe
Würde dann jetzt so vorgehen dass ich meine 8-elementige Verknüpfungstafel mache.
Darf ich dann anhand der Verknüpfungstafel meine Axiome beweisen?
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Genau!
Zunächst mal schreibst du eine Verknüpfungstafel auf, die alle geforderten Eigenschaften erfüllt. Am schwierigsten ist der Nachweis des Assoziativgesetzes, vielleicht kannst du dafür einen "Trick" finden.
Dann zeigst du, dass man die Tafel nicht anders ausfüllen kann, ohne eine der geforderten Eigenschaften zu verletzen.
Insbesondere gilt für eine solche Tafel: Jedes Element muss in jeder Zeile bzw. Spalte genau einmal vorkommen.
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Aus der Verknüpfungstafel geht ja hervor, dass 1 das neutrale Element ist.
Somit ist meine Verknüpfung in dieser Gruppe [mm] Q_8
[/mm]
[mm] \circ [/mm] = *
Ebenso kann die Verknüpfung nicht + sein, da dann das neutrale Element 0 wäre, 0 ist aber kein Element der Gruppe.
Bei *-Verknüpfungen ist eine Assoziativität ja dann automatisch gegeben, da (a*b)*c= a*(b*c)
kann man da so argumentieren?
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Hallo,
> Aus der Verknüpfungstafel geht ja hervor, dass 1 das
> neutrale Element ist.
>
> Somit ist meine Verknüpfung in dieser Gruppe [mm]Q_8[/mm]
>
> [mm]\circ[/mm] = *
>
> Ebenso kann die Verknüpfung nicht + sein, da dann das
> neutrale Element 0 wäre, 0 ist aber kein Element der
> Gruppe.
>
> Bei *-Verknüpfungen ist eine Assoziativität ja dann
> automatisch gegeben, da (a*b)*c= a*(b*c)
>
> kann man da so argumentieren?
Nein, dass kann man hier meiner Ansicht nach nicht machen, da die gewöhnliche Multiplikation in [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] kommutativ ist und die Verknüpfung, um die es hier geht, nicht.
Schau dir mal das hier etwas genauer an. Damit kannst du alle Elemente von [mm] Q_8 [/mm] durch 2x2-Matrizen über [mm] \IC [/mm] audrücken. Wenn es dir gelingt zu zeigen, dass die Gruppe, die durch diese drei Matrizen und die Matrizenmultiplikation erzeugt wird, zu [mm] Q_8 [/mm] isomorph ist, dann kannst du ganz einfach mit der Assoziativität der Matrizenmultiplikation argumentieren.
Gruß, Diophant
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