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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:15 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $G\:$ [/mm] endliche Gruppe, $H [mm] \leq [/mm] G$ Untergruppe und [mm] $N_H$ [/mm] der Normalisator von [mm] $H\:$ [/mm] in G, [mm] $M:=\bigcup_{g \in G}gHg^{-1}$
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) $ord [mm] \: [/mm] M [mm] \leq (G:N_H) \cdot ord\: [/mm] H$
(ii) $H [mm] \not= [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \not= [/mm] G$ |
Hallo,
ich verzweifle ein wenig an dieser Aufgabe. Ich dachte eigentlich ich hätte ein Ergebnis für (i), wenn ich dieses jedoch für (ii) anwende, kommt da das falsche raus. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiter helfen könnte:
(i) M ist ja gerade die Bahn von [mm] $H\:$ [/mm] unter der Konjugationsoperation von [mm] $G\:$ [/mm] auf der Menge [mm] $X\:$ [/mm] der Untergruppen von [mm] $G\:$.
[/mm]
Bezeichne [mm] $GH\:$ [/mm] diese Bahn und [mm] $G_H$ [/mm] die Isotropiegruppe von H unter der Konjugationsoperation von [mm] $G\:$ [/mm] auf [mm] $X\:$
[/mm]
Es gilt dann: $ord [mm] \: [/mm] M = ord [mm] \: [/mm] GH = [mm] (G:G_H)$
[/mm]
Es ist ja [mm] $G_H=\{x \in G \:|\: xHx^{-1}=H\}$
[/mm]
Das heißt die Isotropiegruppe stimmt gerade überein mit dem Normalisator [mm] $N_H=\{x \in G \:|\: xH = Hx\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] ord [mm] \: [/mm] M = [mm] (G:N_H) \Rightarrow [/mm] ord [mm] \: [/mm] M [mm] \leq (G:N_H) \cdot ord\: [/mm] H$, da [mm] $ord\: [/mm] H [mm] \geq [/mm] 1$
Damit wäre (i) gezeigt.
(ii) Ich nehme an, [mm] $M=G\:$ [/mm] und möchte zeigen: [mm] $H=G\:$. [/mm] Damit wäre die Aussage gezeigt.
Mit $ord [mm] \: [/mm] M = [mm] (G:N_H)$ [/mm] aus (i) folgt, wenn [mm] $M=G\:$, [/mm] dass [mm] $ord\: N_H [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow N_H=\{1\} \Rightarrow [/mm] gH [mm] \not=Hg \:\:\forall\:g \in [/mm] G [mm] \backslash\{1\}$
[/mm]
Würde jedoch [mm] $H=G\:$ [/mm] gelten, so müsste dies doch für alle $g [mm] \in [/mm] G$ gelten. Wo ist da mein Fehler?
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 19.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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