Endgültiger Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | | 1+2+3+...+n = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: falschen Text kopiert. Ich hab es nirgendswo sonst gefragt.
1+2+3+...+n+(n+1) = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)
[/mm]
In meinen Augen habe ich jetzt nun einfach nur mit (n+1) addiert.
[mm] \bruch{n(n+1)}{2}+(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)+2(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
Was habe ich jetzt bitteschön bewiesen? wo ist hier ein Beweis? ich hab doch nur ein term schöner gestaltet.
Zum einen ist [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} \not= [/mm] 1+2+3+...+n+(n+1) für n > 1.
Ich hab mir ein Graph gezeichnet und die verschiedenen Ausdrücke hin gezeichnet. Das einzige was passiert ist, ist das der Graph um 1 nach links gerutscht ist. Ich begreife nicht wo dort ein Beweis ist. Ich hab ja nicht einmal etwas mit was ich vergleichen könnte [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] um dort eine Wahrheit zu erkennen die ich akzeptieren kann.
Und was bedeutet "die Induktionsannahme in den Beweis einbauen"?
Ich brauch etwas fassbares zumindest teilweise sonst fühl ich mich wie ein Taschenrechner der nur mit Werten hantiert die er nicht versteht.
Das ist bei jeder Induktion die ich durchführe der Fall. Schön und gut das da was rauskommt was irgendwas beweist. Nur erkenne ich nie ein Beweis der für alle natürlichen Zahlen gilt. Ich hab immer das Gefühl das ich trotzdem unendlich einsetzen müsste um was zu beweisen. Aber ich kann nicht unendlich lang beweisen alleine schon weil ich endlich lebe. Ich hab jetzt Hunger.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Maurizz,
das Prinzip der vollständigen Induktion funktioniert folgendermaßen:
Du hast eine Aussage, die für alle natürlichen Zahlen (bzw. für alle ab einem bestimmten Startwert) gilt, bzw. deren Gültigkeit du zeigen willst. Hier ist das
[mm]1+2+3+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}[/mm]
Induktionsanfang: Teste, ob die Aussage überhaupt für ein n gilt. Idealerweise mit dem kleinstmöglichen n - hier: n=1.
[mm]1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}[/mm] Das stimmt schonmal.
Du weißt also, dass die Aussage für ein n gilt. Im Folgenden wirst du zeigen, dass sie auch für das nächste n gilt. Da die Aussage für n=1 gilt, gilt sie dann auch für n=2. Und da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für das nächste n, also n=3 usw.
Im formalen Beweis kommt jetzt die
Induktionsvoraussetzung: Für ein (beliebiges aber festes) [mm]n\in\mathbb N[/mm] gilt [mm]1+2+3+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}[/mm].
Jetzt kommt der Schritt, in dem wir zum nächsten n, also n+1 übergehen.
Induktionsschritt: betrachte die linke Seite der Gleichung bis n+1
[mm]\green{1+2+3+\ldots +n}+(n+1)[/mm]
Von dem grünen Teil wissen wir, dass er gleich [mm]\frac{n(n+1)}{2}[/mm] ist (das ist die Induktionsvoraussetzung). Also
[mm]\green{1+2+3+\ldots +n}+(n+1)=\green{\frac{n(n+1)}{2}}+ n+1[/mm]
Wenn du jetzt zeigen kannst, dass die rechte Seite [mm]\frac{(n+1)(n+1)}{2}[/mm] entspricht, bist du fertig.
Insgesamt haben wir folgendes gemacht:
- die Aussage gilt für n=1
- wenn die Aussage für ein n gilt, gilt sie auch für n+1. D.h. sie gilt auch für n=2 und für n=3....
- insgesamt folgt, dass die Aussage für alle [mm]n\ge 1[/mm] gilt, also für jedes [mm]n\in\mathbb N[/mm]
Bei dieser speziellen Aufgabe mag es so erscheinen, dass man nur n+1 auf beiden Seiten addiert. Was man bei solchen Aufgaben aber macht, ist, die eine Seite für n+1 aufschreiben und zu schauen, wo man die Induktionsvoraussetzung (also die Aussage bis n) benutzen kann.
Versuch dich doch mal an ![[]](/images/popup.gif) diesen Aufgaben
und gehe dabei strikt nach dem Fahrplan Induktionsanfang - Induktionsvoraussetzung - Induktionsschritt vor.
Lieben Gruß,
Fulla
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