Ellipse Matrixnorm Brennpunkt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Do 20.09.2012 | | Autor: | m51va |
Bekanntlich induziert ja jedes Skalarprodukt [mm] $\langle \cdot [/mm] \ ,\ [mm] \cdot \rangle$ [/mm] durch [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert= \sqrt{\langle x,x \rangle}$ [/mm] eine Norm, und da alle Skalarprodukte der Form [mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle=x^T [/mm] A y$ mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix $A$ sind, erhält man die Normen [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_A [/mm] = [mm] \sqrt{x^T A x}$
[/mm]
Die Einheitskreise bezüglich dieser Normen entsprechen Ellipsen, die im Koordinatenursprung liegen. Bezüglich der Norm [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_A$ [/mm] haben also alle Punkte auf der Ellipse den gleichen Abstand zum Koordinatenursprung.
Das Spiel kann man auch von der anderen Seite betrachten. Zu einer gegebenen Ellipse (symmetriezentrum im Koordinatenursprung) die entsprechende Norm zu finden. Das ist aber auch nicht schwer und lässt sich durch die Halbachsen der Ellispe schnell bestimmen.
Verschiebe ich jedoch die Ellipse so, dass ein Brennpunkt im Koordinatenursprung liegt, gelingt es mir nicht mehr solch eine Norm zu finden. Habt ihr da vielleicht eine Idee oder einen Tipp für mich?
ich habe hauptsächlich mit der eigenschaft der Ellispe gespielt, dass der Abstand eines Punktes zu den Brennpunkten immer 2a (a-große Halbachse) beträgt. allerdings bin ich dadurch nicht schlauer geworden.
Eine weitere Idee oder ein Tipp wären daher sicherlich hilfreich...
Danke
m51va
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bekanntlich induziert ja jedes Skalarprodukt [mm]\langle \cdot \ ,\ \cdot \rangle[/mm]
> durch [mm]\Vert x \Vert= \sqrt{\langle x,x \rangle}[/mm] eine Norm,
> und da alle Skalarprodukte der Form [mm]\langle x,y \rangle=x^T A y[/mm]
> mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix [mm]A[/mm] sind,
> erhält man die Normen [mm]\Vert x \Vert_A = \sqrt{x^T A x}[/mm]
>
> Die Einheitskreise bezüglich dieser Normen entsprechen
> Ellipsen, die im Koordinatenursprung liegen. Bezüglich der
> Norm [mm]\Vert x \Vert_A[/mm] haben also alle Punkte auf der Ellipse
> den gleichen Abstand zum Koordinatenursprung.
>
> Das Spiel kann man auch von der anderen Seite betrachten.
> Zu einer gegebenen Ellipse (symmetriezentrum im
> Koordinatenursprung) die entsprechende Norm zu finden. Das
> ist aber auch nicht schwer und lässt sich durch die
> Halbachsen der Ellispe schnell bestimmen.
>
> Verschiebe ich jedoch die Ellipse so, dass ein Brennpunkt
> im Koordinatenursprung liegt, gelingt es mir nicht mehr
> solch eine Norm zu finden.
Das ist nicht weiter erstaunlich.
Sei E die obige Ellipse. Nimm an, es gäbe eine Norm [mm] ||*||_E [/mm] mit
(*) $ [mm] ||(x,y)||_E=1 \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in \partial [/mm] E$.
Sei x [mm] \ne [/mm] 0 so, dass (x,0) [mm] \in \partial [/mm] E. mit (*) bekommt man:
(x,0) [mm] \in \partial [/mm] E [mm] \gdw ||(x,0)||_E=1 \gdw ||(-x,0)||_E=1 \gdw [/mm] (-x,0) [mm] \in \partial [/mm] E .
Da E aber die verscobene Ellipse ist, gilt: (-x,0) [mm] \notin \partial [/mm] E
FRED
> Habt ihr da vielleicht eine Idee
> oder einen Tipp für mich?
>
> ich habe hauptsächlich mit der eigenschaft der Ellispe
> gespielt, dass der Abstand eines Punktes zu den
> Brennpunkten immer 2a (a-große Halbachse) beträgt.
> allerdings bin ich dadurch nicht schlauer geworden.
> Eine weitere Idee oder ein Tipp wären daher sicherlich
> hilfreich...
>
> Danke
> m51va
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 20.09.2012 | | Autor: | m51va |
> Das ist nicht weiter erstaunlich.
>
> Sei E die obige Ellipse. Nimm an, es gäbe eine Norm
> [mm]||*||_E[/mm] mit
>
> (*) [mm]||(x,y)||_E=1 \gdw (x,y) \in \partial E[/mm].
>
> Sei x [mm]\ne[/mm] 0 so, dass (x,0) [mm]\in \partial[/mm] E. mit (*) bekommt
> man:
>
> (x,0) [mm]\in \partial[/mm] E [mm]\gdw ||(x,0)||_E=1 \gdw ||(-x,0)||_E=1 \gdw[/mm]
> (-x,0) [mm]\in \partial[/mm] E .
>
> Da E aber die verscobene Ellipse ist, gilt: (-x,0) [mm]\notin \partial[/mm]
> E
>
> FRED
Also wird es mir aufgrund der Homogenität der Norm [mm] (\Vert \lambda [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \vert \lambda \vert \Vert [/mm] x [mm] \Vert) [/mm] nich gelingen die verschobene Ellipse bzgl einer Norm als Einheitskreis zu beschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Das ist nicht weiter erstaunlich.
> >
> > Sei E die obige Ellipse. Nimm an, es gäbe eine Norm
> > [mm]||*||_E[/mm] mit
> >
> > (*) [mm]||(x,y)||_E=1 \gdw (x,y) \in \partial E[/mm].
> >
> > Sei x [mm]\ne[/mm] 0 so, dass (x,0) [mm]\in \partial[/mm] E. mit (*) bekommt
> > man:
> >
> > (x,0) [mm]\in \partial[/mm] E [mm]\gdw ||(x,0)||_E=1 \gdw ||(-x,0)||_E=1 \gdw[/mm]
> > (-x,0) [mm]\in \partial[/mm] E .
> >
> > Da E aber die verscobene Ellipse ist, gilt: (-x,0) [mm]\notin \partial[/mm]
> > E
> >
> > FRED
>
> Also wird es mir aufgrund der Homogenität der Norm [mm](\Vert \lambda[/mm]
> x [mm]\Vert[/mm] = [mm]\vert \lambda \vert \Vert[/mm] x [mm]\Vert)[/mm] nich gelingen
> die verschobene Ellipse bzgl einer Norm als Einheitskreis
> zu beschreiben?
Ja
FRED
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