Elemente einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei ein konvexes Polyeder P in R3 durch die Ecken A := (1, 0, 0), B := (0, 1, 0), C := (−1, 0, 0),
D := (0,−1, 0) und E := (0, 0, 1) gegeben.
Betrachten Sie die Untergruppe
G := {g ∈ GL(3,R) | Pg = P}.
Bestimmen Sie alle Elemente dieser Gruppe.
Fassen Sie P nun als Geometrie vom Rang 2 auf mit den Kanten AB, BC, CD, DA, AE, BE, CE
und DE.
a) Ist G ≃ Sym(P)?
b) Bestimmen Sie
i) StabG(A)
ii) StabG(E). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hilfe...ich bin wieder ganz neu an der Uni und ich verstehe diese Aufgabe komplett nicht. Wäre für Hilfe sehr sehr dankbar!
Eigene Lösungsansätze hab ich nicht. Letzte Rettung: IHR!
Liebe Grüße
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> Es sei ein konvexes Polyeder P in R3 durch die Ecken A :=
> (1, 0, 0), B := (0, 1, 0), C := (−1, 0, 0),
> D := (0,−1, 0) und E := (0, 0, 1) gegeben.
> Betrachten Sie die Untergruppe
> G := {g ∈ GL(3,R) | Pg = P}.
> Bestimmen Sie alle Elemente dieser Gruppe.
Dein Konvexer Polyeder ist durch Ecken [mm]\mathcal{E}=\{A,B,C,D,E,\}[/mm] bestimmt, welche wiederum durch Vektoren beschrieben werden. Auf diese Vektoren kann man jegliche Invertierbare Matrizen [mm]M[/mm] loslassen. Wendest du nun [mm]M[/mm] auf einen Vektor aus [mm]\mathcal{E}[/mm] an, so erhälst du wieder einen Vektor [mm]\vec{v}[/mm].
Jetzt sollst du nun alle invertierbare 3x3 Matrizen [mm]M[/mm] derart suchen, die einen Vektor aus P wieder auf einen Vektor aus P abbilden, d.h. für beliebige Vektoren [mm]\vec{v}\in\mathcal{E}[/mm] soll auch [mm]M\circ \vec{v} \in \mathcal{E}[/mm] gelten.
Eine Matrix würde zum Beispiel A auf B abbilden:
[mm]\underbrace{\pmat{ 0&1&0\\
1&0&0\\
0 &0 &1 }}_{M} \vektor{1\\
0\\
0}=\vektor{0\\
1\\
0}[/mm]
Hier wäre so ein M.
Genaugenommen opertiert die Untergruppe von GL auf den Vektoren von P.
Die Operation ist [mm]G\times P \to P,\; (g,x)\mapsto {}^gx[/mm]
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> Fassen Sie P nun als Geometrie vom Rang 2 auf mit den
> Kanten AB, BC, CD, DA, AE, BE, CE
> und DE.
> a) Ist G ≃ Sym(P)?
> b) Bestimmen Sie
> i) StabG(A)
> ii) StabG(E).
Hier kannst du doch auch ohne Lösungsansatz die Definition vom Stabilisator hinschreiben, um etwas Einsatz zu zeigen. Wie lautet diese?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hilfe...ich bin wieder ganz neu an der Uni und ich verstehe
Da fängt man schon mit Gruppenoperationen an?
> diese Aufgabe komplett nicht. Wäre für Hilfe sehr sehr
> dankbar!
> Eigene Lösungsansätze hab ich nicht. Letzte Rettung:
> IHR!
Aber probieren kannst du doch.
> Liebe Grüße
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Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe schon mehrere Stunden selbst probiert. Ich bin externer zugelassener Student der Mathematik und besuche eigentlich eine Geometrie-Vorlesung(!), dass hier ist aber definitiv keine Geometrie. *Smile*
Welche(alle?!?) Elemente hat denn nun diese Gruppe?
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Für diesen Stab gilt:
zu jedem m [mm] \in [/mm] M :
[mm] G_{m} [/mm] := {g [mm] \in [/mm] G | gm = m} heißt der Stabilisator von m.
Was Heisst das jetzt für mich?
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> Für diesen Stab gilt:
> zu jedem m [mm]\in[/mm] M :
> [mm]G_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | gm = m} heißt der Stabilisator von
> m.
>
> Was Heisst das jetzt für mich?
Du musst mal anfangen etwas auszuprobieren und Beispiele zu rechnen. Such dir ein paar Matrizen raus, die invertierbar sind und multipliziere diese mit einer Ecke aus dem Polyeder, damit du ein "Gefühl" bekommst.
Die Definition ist schon ein Anfang. Im Stabilisator sind alle invertierbaren 3x3 Matrizen drin, die dem Polyeder nichts anhaben.
Eine solche Matrix kennst du schon.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe schon mehrere
> Stunden selbst probiert. Ich bin externer zugelassener
> Student der Mathematik und besuche eigentlich eine
> Geometrie-Vorlesung(!), dass hier ist aber definitiv keine
> Geometrie. *Smile*
doch! (Insbesondere kommt sogar das Wort in der Aufgabenstellung
selbst vor!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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