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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
geg.: Sei K der Körper ( [mm] \IZ_{5}, \oplus, \odot),V [/mm] = K³, [mm] U_{1} [/mm] = {(x,y,z) | x + z = 0} und [mm] U_{2} [/mm] = {(x,y,z)|2x - y + 2z = 0}
Wieviele Elemente haben die Vektorräume [mm] V,U_{1},U_{2} [/mm] und [mm] V/U_{1} [/mm] über K?
Wie gehe ich da überhaupt vor dass ich die Elementanzahl bestimmen kann?
Hab da eigentlcih keinen Plan dabei.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 25.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Zunächst einmal gilt ja offenbar
[mm] $|V|=5^3 [/mm] = 125$,
da ich für jede der drei Komponenten fünf Möglichkeiten habe.
Schau die weiterhin mal die Elemente von [mm] $U_1$ [/mm] an.
Diese sind
[mm] $\{(0,y,0),(1,y,4),(2,y,3),(3,y,2),(4,y,1)\}$
[/mm]
mit beliebigem $y [mm] \in \IK$.
[/mm]
Daher gilt:
[mm] $|U_1|=5 \cdot [/mm] 5 = 25$
und somit
$| [mm] V/U_1| [/mm] = [mm] \frac{|V|}{|U_1|} [/mm] = [mm] \frac{125}{25} [/mm] = 5$.
Ich denke mal [mm] $|U_2|$ [/mm] bekommst du jetzt selber raus, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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