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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 05.05.2005 | | Autor: | Tuelin |
Hallöschen,
ich habe leider nicht so viel Erfahrung mit Beweisen und steh vor einer Aufgabe, wo ich nicht weiß, ob ich diese schon bewiesen hab.
Aufgabe:
Es seien Sa, Sb, Sc die Längen der Seitenhalbierenden und a, b, c die Längen der Seiten eines Dreiecks. Beweisen Sie die Ungleichungen:
[mm] \bruch{3}{4}(a+b+c) \le [/mm] Sa+Sb+Sc [mm] \le [/mm] a+b+c
Meine Lösung:
[mm] \bruch{2}{3}Sa+\bruch{2}{3}Sb \ge [/mm] c
[mm] \bruch{2}{3}Sb+\bruch{2}{3}Sc \ge [/mm] a
[mm] \bruch{2}{3}Sa+\bruch{2}{3}Sc \ge [/mm] b
[mm] \Rightarrow \bruch{4}{3} [/mm] (Sa+Sb+Sc) [mm] \ge [/mm] a+b+c
2Sa [mm] \le [/mm] b+c
2Sb [mm] \le [/mm] a+c
2Sc [mm] \le [/mm] a+b
[mm] \Rightarrow [/mm] 2(Sa+Sb+Sc) [mm] \le [/mm] 2a+2b+2c
Bin ich jetzt fertig oder muss ich noch irgendetwas erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tuelin
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> Es seien Sa, Sb, Sc die Längen der Seitenhalbierenden und
> a, b, c die Längen der Seiten eines Dreiecks. Beweisen Sie
> die Ungleichungen:
> [mm]\bruch{3}{4}(a+b+c) \le[/mm] Sa+Sb+Sc [mm]\le[/mm] a+b+c
>
>
> Meine Lösung:
> [mm]\bruch{2}{3}Sa+\bruch{2}{3}Sb \ge[/mm] c
>
>
> [mm]\bruch{2}{3}Sb+\bruch{2}{3}Sc \ge[/mm] a
>
>
> [mm]\bruch{2}{3}Sa+\bruch{2}{3}Sc \ge[/mm] b
>
Hier sollte man vielleicht noch begründen, warun das so ist. (Schwerlinien teilen sich im Verhältnis 2:1; Dreiecksungleichungen bezogen auf die Dreiecke, ABS, BCS und CAS)
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{4}{3}[/mm] (Sa+Sb+Sc) [mm]\ge[/mm] a+b+c
>
>
Das würde ich noch mit 3/4 multiplizieren, um die Form zu erhalten, wie sie in der Aufgabenstellung zu sehen ist.
> 2Sa [mm]\le[/mm] b+c
> 2Sb [mm]\le[/mm] a+c
> 2Sc [mm]\le[/mm] a+b
>
Auch das müsstest du irgendwie begründen. Wenn ich ehrlich bin, sehe ich nämlich nicht ein, aufgrund welchen Gesetzes du auf diese Ungleichungen kommst! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2(Sa+Sb+Sc) [mm]\le[/mm] 2a+2b+2c
>
>
> Bin ich jetzt fertig oder muss ich noch irgendetwas
> erklären?
>
Dann würde ich die beiden Teilergebnisse noch zusammenfassen, so dass tatsächlich die Ungleichung der Aufgabenstellung entsteht, gefolgt von dem obligaten q.e.d.
Mit lieben Grüssen
Paul
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