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| Aufgabe | Sei $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$. [/mm] Zeige für jede der folgenden Operationen, dass $rang(A)=rang(A')$.
i) Wir erhalten $A'$, indem wir $a [mm] \in \IR$ [/mm] Mal eine Spalte von $A$ zu einer anderen hinzu zu addieren.
ii) Wir erhalten $A'$, indem wir eine Spalte von $A$ mit einer Zahl ungleich null multiplizieren.
iii) Wir erhalten $A'$, indem wir in $A$ zwei Spalten vertauschen. |
Hallo allesamt,
Um den Rang einer Matrix zu erhalten, muss ich berechnen, was $dim(Im(A))$ ist. Wir haben $Im(A)$ definiert als [mm] $$, [/mm] wobei [mm] $A_p$ [/mm] die $p$-te Spalte der Matrix $A$ ist. Im Folgenden sind $i, j [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$.
[/mm]
Teilaufgabe i)
Wenn ich Matrix $A'$ definiere als $A' = [mm] $, [/mm] dann muss ich zeigen, dass [mm] $=$.
[/mm]
Wir können sagen, dass
[mm] $ \supseteq $
[/mm]
Ich definiere jetzt $B := [mm] A_i+A_j$ [/mm] und somit ist
[mm] $ \supseteq $
[/mm]
Wenn ich zu $B$ jetzt [mm] $-A_j$ [/mm] addiere, erhalte ich
[mm] $ \supseteq [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] $
[/mm]
Wir haben also kurz:
$ [mm] \supseteq \supseteq $
[/mm]
und somit
$ [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $. Kann man das so machen?
Teilaufgabe ii)
Sei [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Wir müssen zeigen, dass [mm] $=$. [/mm] Wir gehen also analog zu oben vor:
[mm] $ \supseteq \supseteq \supseteq \supseteq $
[/mm]
Das bedeutet, dass [mm] $ \supseteq \supseteq $ [/mm] und damit [mm] $ [/mm] = [mm] [/mm] $.
Teilaufgabe iii)
Wir müssen beweisen, dass [mm] $=$.
[/mm]
Es gilt, dass
$ [mm] \subseteq [/mm] $ und
$ [mm] \subseteq $
[/mm]
Das bedeutet, dass [mm] $=$.
[/mm]
Aus den drei Aufgaben folgt (sollte folgen...), dass diese elementaren Spaltenoperationen [mm] $dim(Im(A))=dim$ [/mm] nicht verändern.
Ich freue mich über Ratschläge.
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 So 23.11.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Hallo :) Ich will absolut niemanden drängeln, aber ich habe so langsam ein bisschen Zeitdruck^^ Ich würde mich echt sehr freuen, wenn jemand auf meine Fragen Feedback und Tipps bzw. alternative Lösungsvorschläge geben könnte.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 25.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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