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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Sa 26.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Stefan,
also ich gehe es mal langsam ran obwohl ich eigentlich
schon knapp mit der Zeit bin...
>Das ist ein Eintrag. Die Matrix heißt [mm] $E_i^j$. [/mm] Sie besteht fast
>ausschließlich aus $0$en. Nur ein Eintrag ist gleich 1, nämlich
>der in der >$i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.
Also dann sieht [mm] $E_i^j$ [/mm] so aus.. ?
[mm]
\begin{pmatrix}
e_{11} & e_{12} & e_{13} & \cdots & e_{1j} \\
e_{21} & e_{22} & e_{23} & \cdots & e_{2j} \\
e_{31} & e_{32} & e_{33} & \cdots & e_{3j} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
e_{i1} & e_{i2} & e_{i3} & \cdots & e_{ij} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Und [mm] $(E_i^j)_{kl}$ [/mm] sieht so aus...?
[mm]
\begin{pmatrix}
\delta_{1k} \cdot \delta_{1l} & \delta_{1k} \cdot \delta_{2l} & \delta_{1k} \cdot \delta_{3l} & \cdots & \delta_{1k} \cdot \delta_{jl} \\
\delta_{2k} \cdot \delta_{1l} & \delta_{2k} \cdot \delta_{2l} & \delta_{2k} \cdot \delta_{3l} & \cdots & \delta_{2k} \cdot \delta_{jl} \\
\delta_{3k} \cdot \delta_{1l} & \delta_{3k} \cdot \delta_{2l} & \delta_{3k} \cdot \delta_{3l} & \cdots & \delta_{3k} \cdot \delta_{jl} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
\delta_{ik} \cdot \delta_{1l} & \delta_{ik} \cdot \delta_{2l} & \delta_{ik} \cdot \delta_{3l} & \cdots & \delta_{ik} \cdot \delta_{jl} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Und dann habe ich es so verstanden, dass der Eintrag
$ [mm] \delta_{ik} \cdot \delta_{jl}=1$ [/mm] ist und der Rest sind Nullen...?
Also wie folgt... Also ich denke mir schon, dass du die folgende
meinst, aber sind meine Überlegungen,
die dann zu diesem Matrix führen richtig oder meintest du was anders?
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] >$E_n$ [/mm] ist die Einheitsmatrix, also die Diagonalmatrix,
>die auf der Diagonalen lauter $1$en hat. Der Rest sind $0$en.
Dann ist [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix. Also:
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>Nun ist für $i [mm] \ne [/mm] j$: [mm] $Q_i^j(\lambda) [/mm] = [mm] E_n [/mm] + [mm] \lambda E_i^j$. [/mm]
>Das bedeutet: [mm] $Q_i^j$ [/mm] hat auf der Diagonalen lauter $1$en,
>an der Stelle $(i,j)$ ein [mm] $\lambda$, [/mm] und besteht ansonsten nur aus $0$en.
Allllsoooo:
[mm] $E_n [/mm] + [mm] \lambda E_i^j$
[/mm]
[mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Nachdem ich mir das hier aufgeschrieben habe, habe ich mir jetzt überlegt...
warum du [mm] $\lambda$ [/mm] hast und ich [mm] $\lambda+1$...
[/mm]
Also ich habe wahrscheinlich nicht mitgedacht, dass es für$i [mm] \ne [/mm] j$ gelten.
Bitte ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") der Fehler ist doch das oder... bitte nichts mehr Kompliziertes 
Okay das liegt dann daran, dass die eine Matrix "länger" ist als die andere und
somit bei der Addition man überhaupt nicht zu dem Fall kommt, dass man
[mm] $1+\lambda$ [/mm] rechnet.
Also nach diesen Gedanken habe ich dann auch diese folgende Matrix als Ergebnis:
[mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Sooo und es war ja für $i [mm] \ne [/mm] j$: [mm] $Q_i^j(\lambda) [/mm] = [mm] E_n [/mm] + [mm] \lambda E_i^j$. [/mm]
Nach diesem ist doch Aufgabe33) trivial oder? Ich könnte doch einfach
Matrix_lambda mal Matrix_mu schreiben und das ist gleich Matrix_lambdamu
oder sollte ich da dass mit der Definition mit der Einheitsmatrix und so weiter ins Spiel bringen?
Und zu der Aufgabe33b) Wie beweist man denn invertierbarkeit?
Könnte ich einfach die Einheitsvektor mal Inverser nehmen und sagen tadaaa
das Q-lambda???
Vielen Dank
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nevin!
> [mm]
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Nein, das ist so nicht richtig. Warum steht der Eintrag $1$ gerade rechts unten? Er steht irgendwo, genauer gesagt im Eintrag $(i,j)$, also in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte, für ein $i [mm] \ne [/mm] j$,
Also auf keinen Fall auf der Diagonalen!
> Dann ist [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix. Also:
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Okay, das ist ja klar.
> Allllsoooo:
>
> [mm]E_n + \lambda E_i^j[/mm]
>
> [mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> [mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> [mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
>
Nein, siehe oben. Mache es bitte so, wie ich es beschrieben habe. Auf der Diagonalen $1$en und dann irgendwo, aber nicht auf der Diagonalen noch eine $1$ (beim Eintrag $(i,j)$ für $i [mm] \ne [/mm] j$).
> Nachdem ich mir das hier aufgeschrieben habe, habe ich mir
> jetzt überlegt...
> warum du [mm]\lambda[/mm] hast und ich [mm]\lambda+1[/mm]...
> Also ich habe wahrscheinlich nicht mitgedacht, dass es
> für[mm]i \ne j[/mm] gelten.
Aha.
> Bitte der Fehler ist doch das oder... bitte
> nichts mehr Kompliziertes
Das war es.
> Okay das liegt dann daran, dass die eine Matrix "länger"
> ist als die andere und
> somit bei der Addition man überhaupt nicht zu dem Fall
> kommt, dass man
> [mm]1+\lambda[/mm] rechnet.
Häh???
> Also nach diesen Gedanken habe ich dann auch diese folgende
> Matrix als Ergebnis:
>
> [mm]
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Okay, du hast es doch nicht verstanden. Das [mm] $\lambda$ [/mm] darf nicht auf der Diagonalen stehen und hier wird auch nichts verlängert. Das überlassen wir mal den Schönheitschirurgen. 
> Sooo und es war ja für [mm]i \ne j[/mm]: [mm]Q_i^j(\lambda) = E_n + \lambda E_i^j[/mm].
>
>
>
> Nach diesem ist doch Aufgabe33) trivial oder?
Ja. Es gilt:
[mm] $Q_i^j(\lambda) \cdot Q_i^j(\mu)$
[/mm]
$ = [mm] (E_n [/mm] + [mm] \lambda E_i^j) \cdot (E_n [/mm] + [mm] \mu E_i^j)$
[/mm]
$ = [mm] E_n \cdot E_n [/mm] + [mm] (\lambda E_i^j) \cdot E_n [/mm] + [mm] E_n \cdot (\mu E_i^j) [/mm] + [mm] (\lambda E_i^j) \cdot (\mu E_i^j)$
[/mm]
$= [mm] E_n [/mm] + [mm] \lambda E_i^j [/mm] + [mm] \mu E_i^j$
[/mm]
$= [mm] E_n [/mm] + [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu)E_i^j$
[/mm]
$= [mm] Q_i^j(\lambda [/mm] + [mm] \mu)$.
[/mm]
Hierbei habe ich ausgenutzt, dass
[mm] $E_i^j \cdot E_i^j=0$ [/mm]
ist. Kannst du mir sagen, warum das so ist?
Nun ja, nur die $i$-te Zeile des ersten Faktors liefert etwas zum Produkt, und die die $j$-te Spalte des zweiten Faktors. Der einzige nichttriviale Eintrag der $i$-ten Zeile des ersten Faktors ist aber der $j$-te Eintrag, während der einzige nichttriviale Eintrag der $j$-ten Spalte des zweiten Faktors der $i$-te Eintrag ist. Wegen [mm] $i\ne [/mm] j$ hat also das Produkt keine von $0$ verschiedenen Einträge.
> Und zu der Aufgabe33b) Wie beweist man denn
> invertierbarkeit?
Man setzt einfach [mm] $\mu:= [/mm] - [mm] \lambda$ [/mm] und nutzt [mm] $Q_i^j(0)=E_n$ [/mm] aus.
Dann steht da:
[mm] $Q_i^j(\lambda) \cdot Q_i^j(-\lambda) [/mm] = [mm] Q_i^j(0)= E_n$,
[/mm]
woraus die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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Also deswegen bin ich jetzt hinter jedem Punkt hinterher...