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| Aufgabe | | Sei f: [mm] ]0,\infty[-->]0,\infty[ [/mm] eine Funktion mit der Elastizität [mm] E_{f}(x)=3x^{3} [/mm] . Berechnen Sie die Funktion f, wenn f(1)=1 gilt. |
Hallo.
Ich habe bis jetzt folgendermaßen berechnet:
[mm] E_{f}(x)= \bruch{f'(x)}{f(x)}*x=3x^{3}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] 3x^2
[/mm]
Jetzt komm ich aber nicht mehr weiter. Was soll ich als nächstes berechnen??
VLG und Danke im Vorraus.
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> Sei f: [mm]]0,\infty[-->]0,\infty[[/mm] eine Funktion mit der
> Elastizität [mm]E_{f}[/mm] (x) = [mm]3x^{3}[/mm] . Berechnen Sie die Funktion
> f, wenn f(1)=1 gilt.
> Hallo.
> Ich habe bis jetzt folgendermaßen berechnet:
>
> [mm]E_{f}(x)= \bruch{f´(x)}{f(x)}[/mm] * x = [mm]3x^{3}[/mm]
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> [mm]\gdw \bruch{f´(x)}{f(x)}[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
>
Hallo,
Du hast jetzt
[mm] 3x^2=\bruch{f'(x)}{f(x)}, [/mm] und Du suchst f(x).
Irgendwie muß man das f'(x) loswerden.
Nun weiß "man", daß [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] die Ableitung von ln(f(x)) ist.
Also suchen wir auf beiden Seiten die Stammfunktion:
[mm] \integral{ 3x^2dx}=\integral{ \bruch{f'(x)}{f(x)}dx}
[/mm]
==> [mm] x^3=ln(f(x))+c
[/mm]
Das mußt Du nun noch nach f(x) auflösen und anschließend mithilfe von f(1)=1 das c bestimmen. Dann hast Du die gesuchte Funktion.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für die Lösung. Dann ist es ja ganz einfach. Für c erhalte ich dann -1 und als Funktion:
f(x)= [mm] e^{x^{3}-1}
[/mm]
Vielen Dank
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