Einzel- und Randverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wir haben in der Vorlesung zwei Situationen betrachtet:
1) Einmal waren n verschiedene Zufallsvariablen [mm] Y_1,...,Y_n [/mm] gegeben, welche eine gemeinsame Verteilung induzierten. (Die Verteilung des Zufallsvektors [mm] Y=(Y_1,...,Y_n)
[/mm]
2) Dann wurde gesagt, dass eine "gemeinsame Verteilung" gewisse Randverteilungen Induziert. Diese Randverteilungen nannten wir "Einzelverteilungen der [mm] Y_i". [/mm] Sie sind gegeben durch z.B.
[mm] P(Y_1 \in A):=P(Y_1 \in [/mm] A [mm] \cap Y_2 \in \Omega \cap....\cap Y_n \in \Omega), [/mm] d.h. durch "vernachlässigen" der anderen ZV'en).
Nunja die Bezeichnungen haben mich etwas verwirrt. Ich frage mich mittlerweile ob die Randverteilungen stets diesen Einzelverteilungen entsprechen oder nicht?
Wie verhalten diese sich zueinander? Hat jemand eine Idee, eventuell ein Beispiel oder ähnliches?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> wir haben in der Vorlesung zwei Situationen betrachtet:
>
> 1) Einmal waren n verschiedene Zufallsvariablen [mm]Y_1,...,Y_n[/mm]
> gegeben, welche eine gemeinsame Verteilung induzierten.
> (Die Verteilung des Zufallsvektors [mm]Y=(Y_1,...,Y_n)[/mm]
>
> 2) Dann wurde gesagt, dass eine "gemeinsame Verteilung"
> gewisse Randverteilungen Induziert. Diese Randverteilungen
> nannten wir "Einzelverteilungen der [mm]Y_i".[/mm] Sie sind gegeben
> durch z.B.
> [mm]P(Y_1 \in A):=P(Y_1 \in[/mm] A [mm]\cap Y_2 \in \Omega \cap....\cap Y_n \in \Omega),[/mm]
> d.h. durch "vernachlässigen" der anderen ZV'en).
>
> Nunja die Bezeichnungen haben mich etwas verwirrt. Ich
> frage mich mittlerweile ob die Randverteilungen stets
> diesen Einzelverteilungen entsprechen oder nicht?
> Wie verhalten diese sich zueinander? Hat jemand eine Idee,
> eventuell ein Beispiel oder ähnliches?
>
> Danke
>
Ich denke es reicht sich die Zusammenhänge an zwei ZV X und Y klar zu machen:
[mm] P_{(X,Y)}(A\times B):=P(\{X\in A\}\cap\{Y\in B\})
[/mm]
[mm] P_{X}(A):=P(\{X\in A\})
[/mm]
[mm] P_{Y}(B):=P(\{X\in B\})
[/mm]
[mm] P_{(X,Y)}(A\times \IR)=P(\{X\in A\}\cap\{Y\in \IR\})=P(\{X\in A\}\cap\Omega)=P(\{X\in A\})=P_{X}(A)
[/mm]
[mm] P_{(X,Y)}(\IR\times B)=P_{Y}(B)
[/mm]
Analog gilt für die Verteilungsfunktionen:
[mm] F_{(X,Y)}(x,y):=P(\{X\in(-\infty,x]\}\cap\{Y\in(-\infty,x]\})
[/mm]
[mm] F_{X}(x):=P(\{X\in(-\infty,x]\})
[/mm]
[mm] F_{Y}(y):=P(\{Y\in(-\infty,y]\})
[/mm]
[mm] F_{(X,Y)}(x,\infty)=P(\{X\in(-\infty,x]\}\cap\{Y\in(-\infty,\infty]\})=P(\{X\in(-\infty,x]\}\cap\Omega)=P(\{X\in(-\infty,x]\})=F_X(x)
[/mm]
[mm] F_{(X,Y)}(\infty,y)=F_{Y}(y)
[/mm]
Es gilt sogar (Satz von Sklar):
Es existiert eine Verteilungsfunktion [mm] C:[0,1]^2\to[0,1] [/mm] mit C(1,t)=C(t,1)=t (eine sogenannte Copula), sodass [mm] F_{(X,Y)}(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y)).
[/mm]
LG
gfm
|
|
|
|
