Einstieg Integralrechnug < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 28.03.2005 | | Autor: | hauke |
Hallo,
ich gebe Mathe-Nachhilfe und möchte meinem Schüler die Integralrechnung nahe bringen.
Dafür suche ich noch nach einem geeigneten Einstieg, der vor allem eine Motivation erkennen lässt. Ich würde so anfangen, dass man mit Hilfe der Integralrechnung Flächen unter Kurven berechnen kann. Dann würde ich erklären, wie man den Flächeninhalt durch Rechtecke annähern kann und dass die Folge von Näherungswerten für immer schmalere Rechtecke einen Grenzwert besitzt, das Integral. Wie aber kann man erklären, dass man sich diese gesamte Näherungsrechnung sparen kann, indem man nämlich die Stammfunktion bestimmt und die Grenzen einsetzt usw.? Gibt es eine anschauliche, plausible, möglichst leicht nachvollziehbare Erklärung für diesen Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Ableitung und Flächeninhalt? Ich will nichts beweisen, sondern eine möglichst bildliche Erklärung liefern. Ich selbst habe den direkten Zusammenhang nie richtig erklärt bekommen, wer kann dies?
Über Antwort wüde ich mich sehr freuen,
viele Grüße,
Hauke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 28.03.2005 | | Autor: | mat84 |
Hi!
Also das mit der Annäherung durch Rechtecke kenn ich auch, damit kommt man dann auf die geometrische Integraldefinition (Grenzwert von Ober- und Untersumme der Rechteckflächen)
Hab bei mir im LK-Buch ne Seite gefunden, wo man von dieser Definition auf die Stammfunktion kommt, aber das funktioniert über die Ableitung der Integralfunktion mit Grenzwert des Differenzquotienten... das ist alles nicht wirklich anschaulich.
Ne einfache Erklärung für die Überleitung von Flächeninhalt zur Stammfunktion hab ich leider auch nich :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hauke!
Will man [mm] $\int\limits_0^1 f(x)\, [/mm] dx$ näherungsweise berechnen und ist $F$ die Stammfunktion von $f$, so gilt ja näherungsweise
[mm] $\frac{F\left(\frac{i+1}{n} \right) - F\left( \frac{i}{n} \right)}{\frac{1}{n}} \approx [/mm] F' [mm] \left( \frac{i}{n} \right) [/mm] = [mm] f\left( \frac{i}{n} \right)$.
[/mm]
Daraus folgt (Teleskopsumme):
$F(1) - F(0) = [mm] \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left[ F\left(\frac{i+1}{n} \right) - F\left( \frac{i}{n} \right)\right] \approx \frac{1}{n } \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left( \frac{i}{n} \right)$,
[/mm]
und letzteres ist gerade ein von dir gewählter Riemann-Ansatz mit den Rechtecken (mit Auswertung am linkem Intervallpunkt).
Viele Grüße
Stefan
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