Einschluss-Aussschluss-Formel < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Einschluss-Aussschluss-Formel
Ist $( [mm] \Omega [/mm] )$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] $A_1 ....A_n \subset [/mm] $, so gilt [mm] $P(A_1) \cup [/mm] ... [mm] P(A_n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} -1^{k-1} \summe_{1 \le i_1 \le i_k \le n}^{} P(A_{i1} \cap [/mm] ... [mm] A_{ik})$ [/mm] |
Meine Frage ist, wie ist die Summe hier zu verstehen [mm] $\summe_{i=1}^{n} [/mm] (-1)^(k-1) [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_k \le n}^{} P(A_{i1} \cap [/mm] ... [mm] A_{ik})$? [/mm]
Über was genau wird hier summiert?
Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel für n=1;n=2,n=3 vorrechnen.
Danke im voraus !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Nadia..!
> Einschluss-Aussschluss-Formel
>
> Ist [mm]( \Omega )[/mm] ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
[mm](\Omega,P)[/mm] soll es sicherlich heißen.
> und
> [mm]A_1 ....A_n \subset [/mm],
[mm]A_1,\ldots,A_n\subset\Omega[/mm] meinst du.
> so gilt [mm]P(A_1) \cup ... P(A_n) = \summe_{i=1}^{n} -1^{k-1} \summe_{1 \le i_1 \le i_k \le n}^{} P(A_{i1} \cap ... A_{ik})[/mm]
Es muss
[mm]P(A_1\cup\ldots\cup A_n)=\sum_{\green{k}=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\ldots
heißen.
> Meine Frage ist, wie ist die Summe hier zu verstehen
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^(k-1) \summe_{1 \le i_1 \le i_k \le n}^{} P(A_{i1} \cap ... A_{ik})[/mm]?
> Über was genau wird hier summiert?
Dein Problem ist vermutlich die innere Summe.
Dort haben wir aus der äußeren Summe ein festes [mm]k[/mm] vorliegen.
Dann wird in der inneren Summe summiert über alle [mm]k[/mm]-Tupel [mm](i_1,\ldots,i_k)[/mm] natürlicher Zahlen mit [mm]1\le i_1<\ldots
> Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel für n=1;n=2,n=3
> vorrechnen.
n=1:
[mm]P(A_1)=\sum_{k=1}^1(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\ldots
Für [mm]n=1[/mm] liefert die Einschluss-Ausschluss-Formel also nichts Interessantes.
n=2:
[mm]P(A_1\cup A_2)=\sum_{k=1}^2(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\ldots
n=3:
[mm]P(A_1\cup A_2\cup A_3)=\sum_{k=1}^3(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\ldots
Die Formel ermöglicht es, Wahrscheinlichkeiten (nicht notwenig disjunkter) Vereinigungen zu berechnen unter Rückgriff auf die häufig einfacher zu bestimmenden Wahrscheinlichkeiten der Schnitte.
Viele Grüße
Tobias
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