Einschließung zw. Treppenfunkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mi 05.04.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
es bedeutet doch einfach dass sich Ober und Unterintegral beliebig wenig unterscheiden, da ja die eine immer [mm] \ge [/mm] f und die andere immer [mm] \le [/mm] f ist nähert sich das inf immer mehr dem sup
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 06.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi ledum und Danke!
Wie würde man dies dann mathematisch korrekt aufschreiben?
Eine Funktion f: [a,b] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ ist genau dann Riemann-integrierbar ist. wenn zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 Treppenfunktionen $ [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] $ existieren mit
$ [mm] \phi \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi [/mm] $ und
$ [mm] \integral_{a}^{b}\psi(x)dx [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon. [/mm] $
ist äquivalent mit der Aussage:
[mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} [/mm] = [mm] sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}
[/mm]
und deshalb [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx}, [/mm] was mit der Definition einer Riemann-integrierbaren Funktion übereinstimmt?
Gruß X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 06.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
> Wie würde man dies dann mathematisch korrekt
> aufschreiben?
Sei
[mm] $N:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\}$
[/mm]
und
[mm] $M:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}$.
[/mm]
Sei nun zunächst f Riemann-integrierbar.
Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existieren Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
[mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
Sei also [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Wegen [mm] $\int_a^b_\*f=\sup [/mm] M$ existiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit [mm] $\int_a^b_\*f-m<\frac\epsilon2$.
[/mm]
Wegen [mm] $\int_a^b^\*f=\inf [/mm] N$ existiert ein [mm] $n\in [/mm] N$ mit [mm] $n-\int_a^b^\*f<\frac\epsilon2$.
[/mm]
Wegen [mm] $m\in [/mm] M$ gibt es ein [mm] $\phi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\phi\le [/mm] f$ und [mm] $\int_a^b\phi=m$.
[/mm]
Wegen [mm] $n\in [/mm] N$ gibt es ein [mm] $\psi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\psi\ge [/mm] f$ und [mm] $\int_a^b\psi=n$.
[/mm]
Es folgt wie gewünscht
[mm] $\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon$.
[/mm]
Gebe es umgekehrt zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
[mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
Zu zeigen ist die Riemann-Integrierbarkeit von f.
Dazu genügt es, [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$ [/mm] zu zeigen.
Dafür wiederum genügt es, [mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] zu zeigen.
Sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben..
Wir wählen Funktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
[mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
Es folgt wie gewünscht:
[mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\int_a^b\psi-\int_a^b\phi\le\epsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 07.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias,
habe vielen Dank für deinen ausführlichen Beweis!
> Hallo X3nion!
>
>
> > Wie würde man dies dann mathematisch korrekt
> > aufschreiben?
> Sei
>
> [mm]N:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\}[/mm]
>
> und
>
> [mm]M:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}[/mm].
>
>
> Sei nun zunächst f Riemann-integrierbar.
> Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existieren
> Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f
> [mm]\le \psi[/mm] und
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>
> Sei also [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben.
>
> Wegen [mm]\int_a^b_\*f=\sup M[/mm] existiert ein [mm]m\in M[/mm] mit
> [mm]\int_a^b_\*f-m<\frac\epsilon2[/mm].
> Wegen [mm]\int_a^b^\*f=\inf N[/mm] existiert ein [mm]n\in N[/mm] mit
> [mm]n-\int_a^b^\*f<\frac\epsilon2[/mm].
>
> Wegen [mm]m\in M[/mm] gibt es ein [mm]\phi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi\le f[/mm] und
> [mm]\int_a^b\phi=m[/mm].
> Wegen [mm]n\in N[/mm] gibt es ein [mm]\psi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\psi\ge f[/mm]
> und [mm]\int_a^b\psi=n[/mm].
>
> Es folgt wie gewünscht
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon[/mm].
>
>
> Gebe es umgekehrt zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] Treppenfunktionen
> [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>
> Zu zeigen ist die Riemann-Integrierbarkeit von f.
>
> Dazu genügt es, [mm]\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f[/mm] zu zeigen.
> Dafür wiederum genügt es,
> [mm]\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0[/mm]
> zu zeigen.
>
> Sei also [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben..
>
> Wir wählen Funktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm]
> f [mm]\le \psi[/mm] und
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>
> Es folgt wie gewünscht:
>
> [mm]\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\int_a^b\psi-\int_a^b\phi\le\epsilon[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
1) Eine Frage zu folgendem Punkt:
$ [mm] \integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm] $.
Ist hier [mm] (n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2, [/mm] weil $ [mm] n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm] $. und $ [mm] \int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm] $.
und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm] \int_a^b^{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*} [/mm] und somit [mm] \int_a^b^f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b^{\*}f?
[/mm]
Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm] n-\int_a^b^{\*}f [/mm] wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als [mm] (n-\int_a^b [/mm] f) und analog [mm] \int_a^b_{\*}f-m [/mm] als [mm] ((\int_a^b [/mm] f)-m)?
2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,
$ [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] $ zu zeigen ?
Und müsste es wenn, dann nicht [mm] \int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f [/mm] lauten?
Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets [mm] \int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f [/mm] gilt
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 07.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
> 1) Eine Frage zu folgendem Punkt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm].
>
> Ist hier [mm](n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2,[/mm]
> weil [mm]n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm]. und
> [mm]\int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm].
>
> und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm]
> = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] und somit [mm]\int_a^b^f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] =
> [mm]\int_a^b^{\*}f?[/mm]
Genau.
> Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm]n-\int_a^b^{\*}f[/mm]
> wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als
> [mm](n-\int_a^b[/mm] f) und analog [mm]\int_a^b_{\*}f-m[/mm] als [mm]((\int_a^b[/mm]
> f)-m)?
Genau.
> 2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die
> Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,
>
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] zu zeigen ?
>
> Und müsste es wenn, dann nicht [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm]
> lauten?
> Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets
> [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm] gilt
Die zu zeigende Riemann-Integrierbarkeit von f bedeutet: [mm] $\int_a^b_\*f=\int_a^b^\*f$.
[/mm]
Zum Nachweis genügt es, die beiden Ungleichungen
(i) [mm] $\int_a^b_\*f\le\int_a^b^\*f$
[/mm]
und
(ii) [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$
[/mm]
zu zeigen.
Da (i) gemäß Forsters Bemerkung ohnehin stets (d.h. für jede beschränkte Funktion [mm] $f\colon[a,b]\to\IR$) [/mm] gilt, bleibt nur noch (ii) zu zeigen.
Zu zeigen ist also tatsächlich (ii) und nicht (i).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 07.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias
> > 1) Eine Frage zu folgendem Punkt:
> >
> >
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm].
> >
> > Ist hier [mm](n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2,[/mm]
> > weil [mm]n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm]. und
> > [mm]\int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm].
> >
> > und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm]
> > = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] und somit [mm]\int_a^b^f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] =
> > [mm]\int_a^b^{\*}f?[/mm]
> Genau.
>
>
> > Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm]n-\int_a^b^{\*}f[/mm]
> > wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als
> > [mm](n-\int_a^b[/mm] f) und analog [mm]\int_a^b_{\*}f-m[/mm] als [mm]((\int_a^b[/mm]
> > f)-m)?
> Genau.
>
>
> > 2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die
> > Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,
> >
> > [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] zu zeigen ?
> >
> > Und müsste es wenn, dann nicht [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm]
> > lauten?
> > Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets
> > [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm] gilt
> Die zu zeigende Riemann-Integrierbarkeit von f bedeutet:
> [mm]\int_a^b_\*f=\int_a^b^\*f[/mm].
>
> Zum Nachweis genügt es, die beiden Ungleichungen
>
> (i) [mm]\int_a^b_\*f\le\int_a^b^\*f[/mm]
>
> und
>
> (ii) [mm]\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f[/mm]
>
> zu zeigen.
>
> Da (i) gemäß Forsters Bemerkung ohnehin stets (d.h. für
> jede beschränkte Funktion [mm]f\colon[a,b]\to\IR[/mm]) gilt, bleibt
> nur noch (ii) zu zeigen.
>
> Zu zeigen ist also tatsächlich (ii) und nicht (i).
Okay dann muss ich aber noch kurz nachfragen:
wenn man (ii) zeigen möchte, also $ [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] $
und du in deinem Beweis geschrieben hast, dass es dafür genügt, $ [mm] \int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon [/mm] $ für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ zu zeigen, wieso folgt dann daraus, dass [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] ?
[mm] \int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon [/mm] für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] klingt nämlich für mich wie, dass daraus direkt [mm] \int_a^b^{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*}f [/mm] folgt und nicht die Aussage (ii) [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f
[/mm]
Könntest du mich da noch aufklären?
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Fr 07.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Okay dann muss ich aber noch kurz nachfragen:
>
> wenn man (ii) zeigen möchte, also
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm]
>
> und du in deinem Beweis geschrieben hast, dass es dafür
> genügt, [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle
> [mm]\epsilon>0[/mm] zu zeigen, wieso folgt dann daraus, dass
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] ?
Jede reelle Zahl u mit [mm] $u\le \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] erfüllt automatisch [mm] $u\le [/mm] 0$. (Soll ich dies näher begründen?)
Angewandt auf [mm] $u:=\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f$ [/mm] erhalten wir [mm] $u\le [/mm] 0$, also
[mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le [/mm] 0$.
Durch Addition von [mm] $\int_a^b_\*f$ [/mm] auf beiden Seiten bekommen wir wie gewünscht
[mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$.
[/mm]
> [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle
> [mm]\epsilon>0[/mm] klingt nämlich für mich wie, dass daraus
> direkt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] folgt und nicht die
> Aussage (ii) [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm]
Mit welcher Begründung kannst du von [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0[/mm] direkt auf [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] schließen?
Ich sehe keinen günstigeren Weg als über die Ungleichung [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Fr 07.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Dankeschön, auch dies macht mir nun Sinn! 
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 06.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart!
> da ja die eine immer [mm]\ge[/mm] f
> und die andere immer [mm]\le[/mm] f ist nähert sich das inf immer
> mehr dem sup
Das inf nähert sich dem sup? Was soll das bedeuten? Das inf und das sup sind beides feste reelle Zahlen.
Viele Grüße
Tobias
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