Einhüllende d. Kurvenschar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Einhüllende der Kurvenschar:
[mm] $2(x-a)^2 +2y^2 [/mm] = [mm] a^2$ [/mm] |
Hallo,
Wärt ihr so nett mal drüberzuschauen:
$F(x,y,a) = [mm] 2(x-a)^2 +2y^2 [/mm] - [mm] 2a^2 [/mm] = 0$ ist stetig diffbar.
[mm] $\frac{\partial F}{\partial a} [/mm] = -4x +2a = 0 [mm] \gdw [/mm] a=2x$
somit also: $F(x,y,2x) = [mm] 2x^2+2y^2-4x^2 [/mm] = [mm] 2y^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] |y| = x$
Damit erhalten wir die implizite Darstellung der Kurve auf der die Punkte der Einhüllenden liegen.
Sehen wir uns die singulären Punkte an.
[mm] $\frac{\partial F}{\partial x} [/mm] = 4x-4a = 0 $ , also $ x = a$
[mm] $\frac{\partial F}{\partial y} [/mm] = 4y = 0 $ , also $ y = 0$
Somit sind die singulären Punkte : $(x,y) = (a,0)$ ,diese liegen allerdings nur für a=0 auf der Scharkurve , da $F(a,0,a) = [mm] -a^2 [/mm] = 0$.
Die singulären Punkte könnten auch Punkte der Einhüllenden sein, aber:
$ [mm] \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(a,b) \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(a,b) [/mm] - [mm] \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(a,b) [/mm] = 16 > 0$ , also ist (a,b) isolierter Punkt.
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Bestimme die Einhüllende der Kurvenschar:
> [mm]2(x-a)^2 +2y^2 = a^2[/mm]
> Hallo,
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> Wärt ihr so nett mal drüberzuschauen:
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> [mm]F(x,y,a) = 2(x-a)^2 +2y^2 - 2a^2 = 0[/mm] ist stetig diffbar.
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> [mm]\frac{\partial F}{\partial a} = -4x +2a = 0 \gdw a=2x[/mm]
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> somit also: [mm]F(x,y,2x) = 2x^2+2y^2-4x^2 = 2y^2 - 2x^2 = 0 \gdw |y| = x[/mm]
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> Damit erhalten wir die implizite Darstellung der Kurve auf
> der die Punkte der Einhüllenden liegen.
>
> Sehen wir uns die singulären Punkte an.
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> [mm]\frac{\partial F}{\partial x} = 4x-4a = 0[/mm] , also [mm]x = a[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y} = 4y = 0[/mm] , also [mm]y = 0[/mm]
> Somit
> sind die singulären Punkte : [mm](x,y) = (a,0)[/mm] ,diese liegen
> allerdings nur für a=0 auf der Scharkurve , da [mm]F(a,0,a) = -a^2 = 0[/mm].
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> Die singulären Punkte könnten auch Punkte der
> Einhüllenden sein, aber:
>
> [mm]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(a,b) \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(a,b) - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(a,b) = 16 > 0[/mm]
> , also ist (a,b) isolierter Punkt.
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Beste Grüße und Dank
>
> Thomas
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
> Hallo Thomas_Aut,
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> > Bestimme die Einhüllende der Kurvenschar:
> > [mm]2(x-a)^2 +2y^2 = a^2[/mm]
> > Hallo,
> >
> > Wärt ihr so nett mal drüberzuschauen:
> >
> > [mm]F(x,y,a) = 2(x-a)^2 +2y^2 - 2a^2 = 0[/mm] ist stetig diffbar.
> >
> > [mm]\frac{\partial F}{\partial a} = -4x +2a = 0 \gdw a=2x[/mm]
> >
> > somit also: [mm]F(x,y,2x) = 2x^2+2y^2-4x^2 = 2y^2 - 2x^2 = 0 \gdw |y| = x[/mm]
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> >
> > Damit erhalten wir die implizite Darstellung der Kurve auf
> > der die Punkte der Einhüllenden liegen.
> >
> > Sehen wir uns die singulären Punkte an.
> >
> > [mm]\frac{\partial F}{\partial x} = 4x-4a = 0[/mm] , also [mm]x = a[/mm]
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> > [mm]\frac{\partial F}{\partial y} = 4y = 0[/mm] , also [mm]y = 0[/mm]
> >
> Somit
> > sind die singulären Punkte : [mm](x,y) = (a,0)[/mm] ,diese liegen
> > allerdings nur für a=0 auf der Scharkurve , da [mm]F(a,0,a) = -a^2 = 0[/mm].
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> > Die singulären Punkte könnten auch Punkte der
> > Einhüllenden sein, aber:
> >
> > [mm]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(a,b) \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(a,b) - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(a,b) = 16 > 0[/mm]
> > , also ist (a,b) isolierter Punkt.
> >
>
>
> Alles richtig.
Für $a=0$ müsste der Punkt aber sehrwohl auf der Einhüllenden liegen oder? da ja die Gleichung $|y|=x$ für $(x,y) = (a,0)$ mit $a = 0$ erfüllt ist...
Lg
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> >
> > Beste Grüße und Dank
> >
> > Thomas
> >
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo Mathepower,
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> > Hallo Thomas_Aut,
> >
> > > Bestimme die Einhüllende der Kurvenschar:
> > > [mm]2(x-a)^2 +2y^2 = a^2[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > Wärt ihr so nett mal drüberzuschauen:
> > >
> > > [mm]F(x,y,a) = 2(x-a)^2 +2y^2 - 2a^2 = 0[/mm] ist stetig diffbar.
> > >
> > > [mm]\frac{\partial F}{\partial a} = -4x +2a = 0 \gdw a=2x[/mm]
> > >
> > > somit also: [mm]F(x,y,2x) = 2x^2+2y^2-4x^2 = 2y^2 - 2x^2 = 0 \gdw |y| = x[/mm]
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> > > Damit erhalten wir die implizite Darstellung der Kurve auf
> > > der die Punkte der Einhüllenden liegen.
> > >
> > > Sehen wir uns die singulären Punkte an.
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> > > [mm]\frac{\partial F}{\partial x} = 4x-4a = 0[/mm] , also [mm]x = a[/mm]
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> > > [mm]\frac{\partial F}{\partial y} = 4y = 0[/mm] , also [mm]y = 0[/mm]
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> > Somit
> > > sind die singulären Punkte : [mm](x,y) = (a,0)[/mm] ,diese liegen
> > > allerdings nur für a=0 auf der Scharkurve , da [mm]F(a,0,a) = -a^2 = 0[/mm].
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> > >
> > > Die singulären Punkte könnten auch Punkte der
> > > Einhüllenden sein, aber:
> > >
> > > [mm]\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(a,b) \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(a,b) - \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(a,b) = 16 > 0[/mm]
> > > , also ist (a,b) isolierter Punkt.
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> >
> >
> > Alles richtig.
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> Für [mm]a=0[/mm] müsste der Punkt aber sehrwohl auf der
> Einhüllenden liegen oder? da ja die Gleichung [mm]|y|=x[/mm] für
> [mm](x,y) = (a,0)[/mm] mit [mm]a = 0[/mm] erfüllt ist...
>
Ja, da hast Du recht.
Für a=0 erhältst Du, ausgehend von der
gegebenen Kurvenschar, nur einen einzigen Punkt.
> Lg
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> > > Beste Grüße und Dank
> > >
> > > Thomas
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> >
> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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