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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Wurzeln der Gleichung
[mm] z^{6} [/mm] = -1
und skizzieren Sie die Lage der Wurzeln in der komplexen Ebene. |
Wir sind gerade über diese Aufgabe gestolpert bei der Vorbereitung auf unsere Klausur. Eigentlich hatten wir den Aufgabentyp schon abgeschlossen, jedoch kriegen wir bei dieser Aufgabe keine richtige Lösung heraus.
Zunächst
[mm] z^6 [/mm] = -1 => [mm] |z^6| [/mm] = |-1| => [mm] |z|^6 [/mm] = 1 => z = 1
Somit haben wir für Winkel [mm] \Phi [/mm] und Radius r die Werte.
6 [mm] \Phi [/mm] = 0 + [mm] 2k\Pi [/mm] und [mm] r^6 [/mm] = 1
Und genau an dieser Stelle scheint auch das Problem zu liegen. Wir wissen nicht warum bei bisherigen Aufgaben immer explizit 6 [mm] \Phi [/mm] = 0 [mm] +2k\Pi [/mm] aufgeschrieben wurde.
Mit diesen Werten gelangen wir zu einer Lösung die um genau [mm] \pi [/mm] gedreht ist. D.h. vermutlich müssten wir für den Winkel anstelle von
6 [mm] \Phi [/mm] = 0 + [mm] 2k\Pi
[/mm]
6 [mm] \Phi [/mm] = [mm] \Pi [/mm] + [mm] 2k\Pi
[/mm]
verwenden.
Wir wissen jedoch absolut nicht wieso und wie man darauf kommt!
Ich hoffe uns kann jemand heute noch helfen. Die Klausur ist morgen ;)
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Wurzeln der Gleichung
> [mm]z^{6}[/mm] = -1
> und skizzieren Sie die Lage der Wurzeln in der komplexen
> Ebene.
> Wir sind gerade über diese Aufgabe gestolpert bei der
> Vorbereitung auf unsere Klausur. Eigentlich hatten wir den
> Aufgabentyp schon abgeschlossen, jedoch kriegen wir bei
> dieser Aufgabe keine richtige Lösung heraus.
>
> Zunächst
>
> [mm]z^6[/mm] = -1 => [mm]|z^6|[/mm] = |-1| => [mm]|z|^6[/mm] = 1 => z = 1
Das soll wohl |z|=1 lauten
>
> Somit haben wir für Winkel [mm]\Phi[/mm] und Radius r die Werte.
>
> 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 + [mm]2k\Pi[/mm] und [mm]r^6[/mm] = 1
>
> Und genau an dieser Stelle scheint auch das Problem zu
> liegen. Wir wissen nicht warum bei bisherigen Aufgaben
> immer explizit 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 [mm]+2k\Pi[/mm] aufgeschrieben wurde.
Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen habt ? das Argument von 1 ist = 0.
>
> Mit diesen Werten gelangen wir zu einer Lösung die um genau
> [mm]\pi[/mm] gedreht ist. D.h. vermutlich müssten wir für den Winkel
> anstelle von
> 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 + [mm]2k\Pi[/mm]
> 6 [mm]\Phi[/mm] = [mm]\Pi[/mm] + [mm]2k\Pi[/mm]
> verwenden.
Richtig. Das Argument von -1 ist [mm] \pi
[/mm]
FRED
>
> Wir wissen jedoch absolut nicht wieso und wie man darauf
> kommt!
>
> Ich hoffe uns kann jemand heute noch helfen. Die Klausur
> ist morgen ;)
>
> Danke
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>> $ [mm] z^6 [/mm] $ = -1 => $ [mm] |z^6| [/mm] $ = |-1| => $ [mm] |z|^6 [/mm] $ = 1 => z = 1
>Das soll wohl |z|=1 lauten
Ja richtig!
>Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen habt ?
Das stimmt!
> das Argument von 1 ist = 0.
> Das Argument von -1 ist $ [mm] \pi [/mm] $
Gibt es da eine Formel für, oder wie kommt man darauf?
Das Argument von z ist ja der Winkel [mm] \Phi. [/mm] D.h. für jede reelle Zahl x (die ja im komplexen auf der x-Achse liegt)
Ist das Argument von x = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ positiv} \\ \pi, & \mbox{falls } x \mbox{ negativ} \end{cases}
[/mm]
korrekt?
Wie sieht es für das Argument von 0 aus?
arg(0) = 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> >> [mm]z^6[/mm] = -1 => [mm]|z^6|[/mm] = |-1| => [mm]|z|^6[/mm] = 1 => z = 1
>
> >Das soll wohl |z|=1 lauten
>
> Ja richtig!
>
> >Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen
> habt ?
>
> Das stimmt!
>
> > das Argument von 1 ist = 0.
> > Das Argument von -1 ist [mm]\pi[/mm]
>
> Gibt es da eine Formel für, oder wie kommt man darauf?
>
> Das Argument von z ist ja der Winkel [mm]\Phi.[/mm] D.h. für jede
> reelle Zahl x (die ja im komplexen auf der x-Achse liegt)
> Ist das Argument von x = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ positiv} \\ \pi, & \mbox{falls } x \mbox{ negativ} \end{cases}[/mm]
>
> korrekt?
Ja
Was ist das Argument von [mm] $\pi$ [/mm] ?
>
> Wie sieht es für das Argument von 0 aus?
>
> arg(0) = 0?
Üblicherweise def. man das Argument zur für Zahlen [mm] \not= [/mm] 0
>
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Das Argument von x = [mm] \Pi [/mm] müsste 0 sein da, x [mm] \in (-\Pi,\Pi]
[/mm]
Für x = [mm] -\Pi [/mm] ergibt sich dann:
Da [mm] \phi [/mm] + [mm] 2\Pi [/mm] = [mm] \phi [/mm] gilt müsste das Argument von
[mm] -\Pi [/mm] = [mm] -\Pi +2\Pi [/mm] = [mm] \Pi [/mm] auch wieder 0 sein.
ok?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Pardon, ich habe mich oben verschrieben.
Ich wollte von Dir wissen, was das Argument von $i$ ist.
..... und von $-i$ ... und von $1+i$
Nur zu Übungszwecken !!
FRED
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arg(i) = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
arg(-i) = [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
arg(i+1) = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Habe ich jetzt einfach mal so am Einheitskreis "abgelesen"
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
O.K.
FRED
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