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Hallo zusammen,
ich stehe beim Thema Körpererweiterungen durch Einheitswurzeln im Zusammenhang mit dem Eulerpolynom vor einem Verständnisproblem. Ich rekapituliere mal kurz mein "Wissen":
Fangen wir beispielhaft mit der Zerfällungskörper von $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 2$ an. Dann haben wir $K = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}, \xi_3 [/mm] )$ als ZK und finden [mm] $[\IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}, \xi_3 [/mm] ) : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}, \xi_3 [/mm] ) : [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}) ]*[\IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[3]{2}) :\IQ]$ [/mm] . Ersteres hat als Minimalpolynom $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 2$, zweiteres $f(x) = [mm] (x^3 [/mm] - 1)/(x-1) = [mm] x^2+x+1$ [/mm] und damit können wir den Grad der Körperweiterung ausrechnen: $3*2 = 6$.
Allgemein ergibt sich für den Zerfällungskörper [mm] $K_n$ [/mm] des Polynoms $f(x) = [mm] x^n [/mm] - 1$, das also alle n-ten Einheitswurzeln adjungiert, folgender Zusammenhang:
[mm] $[K_n [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \varphi(n)$, [/mm] wobei [mm] $\varphi(n)$ [/mm] die Euler Funktion ist und es gilt [mm] $\varphi(3) [/mm] = 2$ (Beispiel oben), [mm] $\varphi(4) [/mm] = 2$, [mm] $\varphi(5) [/mm] =4$. Die Herleitung von $varphi$ hab ich auch halbwegs verstanden, allerdings erschließt sich mir nicht, wieso [mm] $K_3$ [/mm] oder [mm] $K_4$ [/mm] als Verktorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] Dimension 2, [mm] $K_5$ [/mm] jedoch Dimension 4 haben sollte?
Ich habe mir das bisher so vorgestellt: [mm] $K_3 [/mm] = [mm] \{ a + b*\xi_3 | a,b \in \IQ \}$ [/mm] und [mm] ${\xi_3}^2 [/mm] = - [mm] {\xi_3}$ [/mm] ist automatisch drin (im [mm] $K_4$ [/mm] durch i und -i noch einfacher)...
Aber dann müsste sich im Zweifel [mm] $K_5$ [/mm] wie folgt ähnlich bilden lassen: [mm] $K_5 [/mm] = [mm] \{ a + b*\xi_5 + c*{\xi_5}^2 | a,b,c \in \IQ \}$, [/mm] da [mm] ${\xi_5}^3 [/mm] = [mm] -{\xi_5}^2$ [/mm] und [mm] ${\xi_5}^4 [/mm] = - [mm] {\xi_5}$, [/mm] oder?
Damit hätte es die Dimension 3 über [mm] $\IQ$ [/mm] und nicht 4. Wo ist da der Denkfehler?
Vielen Dank und viele Grüße
Skorpinus
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Hallo,
keine Einsprüche meinerseits zum ersten Teil, allerdings ein kleiner Rechentrick: ist $K [mm] \subseteq \mathbb [/mm] R$ und [mm] $L\not\subseteq \mathbb [/mm] R$ so ist [mm] $[L:K]\geq [/mm] 2$. Damit kann man sich oft das ausrechnen von Min.polynomen sparen (hier z.B.).
Ab hier hab ich massive Einwände:
> Ich habe mir das bisher so vorgestellt: [mm]K_3 = \{ a + b*\xi_3 | a,b \in \IQ \}[/mm]
> und [mm]{\xi_3}^2 = - {\xi_3}[/mm]
Das ist schlicht falsch. Da [mm] $\xi_3 \neq [/mm] 0$ impliziert diese Gleichung [mm] $\xi_3=-1$, [/mm] was natürlich falsch ist. Es gilt [mm]{\xi_3}^2 = - {\xi_3}-1[/mm] oder [mm]{\xi_3}^2 = - {\xi_6}[/mm]
>ist automatisch drin (im [mm]K_4[/mm]
> durch i und -i noch einfacher)...
> Aber dann müsste sich im Zweifel [mm]K_5[/mm] wie folgt ähnlich
> bilden lassen: [mm]K_5 = \{ a + b*\xi_5 + c*{\xi_5}^2 | a,b,c \in \IQ \}[/mm],
> da [mm]{\xi_5}^3 = -{\xi_5}^2[/mm] und [mm]{\xi_5}^4 = - {\xi_5}[/mm], oder?
Selber Einwand wie oben. Diese Gleichheiten würden [mm] $\xi_5=-1$ [/mm] bzw. [mm] $\xi_5^3=-1$ [/mm] implizieren.
>
> Damit hätte es die Dimension 3 über [mm]\IQ[/mm] und nicht 4. Wo
> ist da der Denkfehler?
Keine Ahnung was der Gedanke dahinter war, evtl. vergessen auf der rechten Seite negative statt ositive Potenzen zu betrachten?
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Ah, wunderbar, das hilft mir schon mal, da haben wir ja die ersten Denkfehler (ich hatte das Beispiel i -> -i falsch verallgemeinert). Aber ich bin noch nicht komplett klar, ich versuche das jetzt mal detailierter nachzurechnen. Um bei den 3-ten Einheitswurzeln zu bleiben:
wir haben [mm] $\xi_3 [/mm] = - 1/2 + [mm] i/2*\wurzel{3}$ [/mm] und [mm] ${\xi_3}^2 [/mm] = - 1/2 - [mm] i/2*\wurzel{3}$
[/mm]
Damit ist im Körper $K = [mm] \{ a + b\cdot{}\xi_3 | a,b \in \IQ \} [/mm] $ die zweite Wurzel drin, weil [mm] ${\xi_3}^2 [/mm] = - 1/2 - [mm] i/2*\wurzel{3} [/mm] = 1/2 - [mm] i/2*\wurzel{3} [/mm] - 1 = [mm] -\xi_3 [/mm] -1 [mm] \in [/mm] K$, also wunderbar.
Ich nehme an, dieses System funktioniert für [mm] $K_5$ [/mm] nicht mehr. Hier sind die Wurzeln etwas unübersichtlich, aber mit Eulerformel findet sich:
[mm] $\xi_5 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(\wurzel{5} [/mm] - 1) + i [mm] \wurzel{\bruch{5+ \wurzel{5}}{8}} [/mm] = [mm] c_1 [/mm] + i [mm] c_2$ [/mm] und eben [mm] ${\xi_5}^4 [/mm] = [mm] c_1 [/mm] - i [mm] c_2$
[/mm]
und es folgt, wollte man [mm] ${\xi_5}^4$ [/mm] als Linearkombination [mm] $a+b*\xi_5$ [/mm] schreiben, dass eben b= -1 und [mm] $a=\bruch{2}{4}(\wurzel{5} [/mm] - 1)$, was eben nicht aus [mm] $\IQ$ [/mm] ist und damit Widerspruch. Natürlich müsste man noch nachweisen, dass es als Kombination auch unter Berücksichtung von [mm] ${\xi_4}^2$ [/mm] etc. nicht klappt, aber das ist recht einfach zu sehen.
Ist das so korrekt? Dann danke ich an der Stelle schon mal vielmals
Skorpinus
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Tipp 1: Mal dir Einheitswurzeln(EW) am Einheitskreis mal hin. Imho ist diese Anschauung sehr nützlich für das Rechnen mit EW.
Tipp 2: Polarform ist wohl die sinnvollere Darstellung für EW.
Es ist das 5. Kreisteilungpolynom [mm] $(X^5-1)/(X-1)=X^4+X^3+X^2+X+1$, [/mm] also gilt für jede primitive EW [mm] $\xi$ [/mm] gilt also: [mm] $\xi^4=-(\xi^3+\xi^2+\xi+1)$.
[/mm]
Die Aussage folgt, da das Kreisteilungspol. irred und damit Minimalpol. der primitiven EW ist. Ganz ohne Rumrechnerei in den komplexen Zahlen.
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