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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Epsylon |
| Aufgabe 1 | | Überlege woran man erkennt, wann zwei Eckpunkte durch eine Kante verbunden sind |
| Aufgabe 2 | | Übertrage deine Erkenntnisse auf den vierdimensionalen Raum |
Eine etwas seltsame aber sehr interessante Aufgabenstellung. Die Aufgabe soll durch Überlegungen über ein Einheitsquadrat bzw. Einheitswürfel bzw. Einheitshyperkubus mit Eckpunkten der Form [mm] (\*,\*), [/mm] bzw [mm] (\*,\*,\*) [/mm] bzw. [mm] (\*,\*,\*,\*) [/mm] gelöst werden.
Ein Einheitsquadrat hat die Eckpunkte (0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Ein Einheitswürfel jene: (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1), usw...
Mir ist also aufgefallen, dass man sagen kann, dass eine Kante sich nur zwischen solchen Punkten befindet, bei denen genau eine Koordinate nicht gleich der des anderen Punktes ist.
Also z.B. befindet sich eine Kante zwischen Punkt A und Punkt B, wenn xA=xB und yA=yB, aber [mm] zA\not=zB.
[/mm]
Ich habe versucht das allgemein so auszudrücken: [mm] \overrightarrow{AB}=Wuerfelkante, [/mm] wenn gilt: [mm] \exists! a_{n} \in [/mm] A [mm] \wedge b_{n} \in [/mm] B, [mm] n\in \IN [/mm] : [mm] a_{n}\not=b_{n}
[/mm]
Weil es sich aber meines Erachtens nach bei Vektoren (Punkten) nicht wirklich um Mengen handelt glaube ich nicht daran, dass man das so schreiben kann. Es bietet sich allerdings so schön an, weil dadurch das "genau ein" und die Reihenfolge der Koordinaten berücksichtigt wird.
Es wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte, wie man das mathematisch korrekt angibt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Epsylon,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Überlege woran man erkennt, wann zwei Eckpunkte durch eine
> Kante verbunden sind
> Übertrage deine Erkenntnisse auf den vierdimensionalen
> Raum
> Eine etwas seltsame aber sehr interessante
> Aufgabenstellung. Die Aufgabe soll durch Überlegungen
> über ein Einheitsquadrat bzw. Einheitswürfel bzw.
> Einheitshyperkubus mit Eckpunkten der Form [mm](\*,\*),[/mm] bzw
> [mm](\*,\*,\*)[/mm] bzw. [mm](\*,\*,\*,\*)[/mm] gelöst werden.
>
> Ein Einheitsquadrat hat die Eckpunkte
> (0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Ein Einheitswürfel jene:
> (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1), usw...
>
> Mir ist also aufgefallen, dass man sagen kann, dass eine
> Kante sich nur zwischen solchen Punkten befindet, bei denen
> genau eine Koordinate nicht gleich der des anderen Punktes
> ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also z.B. befindet sich eine Kante zwischen Punkt A und
> Punkt B, wenn xA=xB und yA=yB, aber [mm]zA\not=zB.[/mm]
>
> Ich habe versucht das allgemein so auszudrücken:
> [mm]\overrightarrow{AB}=Wuerfelkante,[/mm] wenn gilt: [mm]\exists! a_{n} \in[/mm]
> A [mm]\wedge b_{n} \in[/mm] B, [mm]n\in \IN[/mm] : [mm]a_{n}\not=b_{n}[/mm]
[mm] n\in\IN? [/mm] Wir haben hier endlich dimensionale Räume.
Ich würde es so machen: Seien [mm] A=(a_1,\ldots,a_n) [/mm] bzw [mm] B=(b_1,\ldots,b_n) [/mm] Ecken eines n-dimensionalen Hypereinheitswürfels. Es ist A benachbart zu B genau dann, wenn [mm] \sum_{i=1}^n|a_n-b_n|=1.
[/mm]
LG
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Hallo Epsylon,
noch kürzer als kamaleontis Variante ist die vektorielle. Sei [mm] \vec{a} [/mm] der Ortsvektor des Punktes A, [mm] \vec{b} [/mm] der von B.
Dann sind A und B durch eine Kante zu verbinden, wenn [mm] |\vec{a}-\vec{b}|=w [/mm] ist, wobei w die Kantenlänge des (Hyper-)würfels bezeichnet.
Das funktioniert dann sogar bei beliebiger Lage im (Hyper-)Raum und beliebiger Kantenlänge [mm] \not=0.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Di 25.10.2011 | | Autor: | Epsylon |
Wow! Das bringt mich natürlich echt weiter! Vielen Dank euch beiden. Hätte nicht mit so tollen Tipps gerechnet!
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