Einheitskugel, Sphäre, Rand < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mi 11.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | In [mm] X=\IR^n [/mm] sei [mm] K:=\{x\in \IR^n: ||x|| \le 1\}. [/mm] Dann ist [mm] \partial [/mm] K [mm] =\{x\in \IR^n:||x||=1\}=:S^{n-1}, [/mm] also die (Einheits-)Sphäre.
Ebenso gilt für die offene Kugel [mm] B_1(0)=\{x\in R^n: ||x|| <1}, [/mm] dass [mm] \partial B_1(0)=S^{n-1}. [/mm] |
Hallo,
ZZ.: [mm] \partial K=S^{n-1}
[/mm]
[mm] \subseteq)
[/mm]
x [mm] \in \partial [/mm] K d.h. [mm] \forall\epsilon>0: B_{\epsilon}(x) \cap [/mm] K [mm] \not= \emptyset \wedge B_{\epsilon}(x) \cap (\IR^n\setminus [/mm] K) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Angenommen [mm] x\not\in S^{n-1} \Rightarrow [/mm] ||x||>1 [mm] \vee [/mm] ||x||<1
Fall 1: ||x||<1
[mm] \epsilon:= \frac{1-||x||}{2}
[/mm]
ZZ.: [mm] B_{\epsilon} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] K
y [mm] \in B_{\epsilon} [/mm] (x) d.h. [mm] ||y-x||\le \frac{1-||x||}{2}
[/mm]
[mm] ||y||=||y||-||x|+||x||\le 2||y-x||+||x||\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] K
Nun haben wir gerade eine Schutzkugel um x gefunden, die ganz in K liegt. Widerspruch zu x Randpunkt.
Fall 2: [mm] ||x||\ge [/mm] 1
[mm] \epsilon:= \frac{||x||-1}{2}
[/mm]
ZZ.: [mm] B_{\epsilon} [/mm] (x) [mm] \subseteq \IR^n\setminus [/mm] K
y [mm] \in B_{\epsilon} [/mm] (x) [mm] \Rightarrow ||y-x||\le \frac{||x||-1}{2}
[/mm]
Problem 1: Den Beweis krieg ich nicht zu Ende...damit rauskommt ||y|| > 1.
[mm] \supseteq)
[/mm]
s [mm] \in S^{n-1}, [/mm] d.h. ||s||=1
ZZ.: [mm] \forall \epsilon>0: B_{\epsilon} [/mm] (s) [mm] \cap [/mm] K [mm] \not= \emptyset \wedge B_{\epsilon}(s) \cap (\IR^n\setminus [/mm] K) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Die erste Aussage ist klar da ||s||=1 [mm] \Rightarrow ||s||\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] s [mm] \in [/mm] K. Und natürlich ist s selbst in jeder seiner "Schutzkugeln" enthalten.
Nun aber [mm] \IR^n\setminus [/mm] K = [mm] \{x \in \IR^n :||x||>1\} [/mm] und [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig aber fest.
Ich bin auf der Suche nach einen Punkt x, der in jeder Epsilon-Umgebung um s liegt und außerdem im Komplement von K.
Problem 2 Darf ich den Mittelpunkt von K in den Nullpunkt setzen??
Ich schaue mir den Vektor [mm] x=s+\frac{\epsilon}{2} [/mm] * [mm] \frac{s}{||s||}=s+\frac{\epsilon}{2}*s =(\frac{2+ \epsilon}{2})s [/mm] an.
[mm] ||x||=||(\frac{2+ \epsilon}{2})s||=1+\frac{\epsilon}{2} [/mm] >1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IR^n\setminus [/mm] K
Und [mm] ||x-s||=||\frac{\epsilon}{2} [/mm] s|||= [mm] \epsilon/2 [/mm] < [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \in B_\epsilon [/mm] (s)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in B_\epsilon(s) \cap (\IR^n\setminus [/mm] K) [mm] \Rightarrow B_\epsilon(s) \cap (\IR^n\setminus K)\not= \emptyset
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 11.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> In [mm]X=\IR^n[/mm] sei [mm]K:=\{x\in \IR^n: ||x|| \le 1\}.[/mm] Dann ist
> [mm]\partial[/mm] K [mm]=\{x\in \IR^n:||x||=1\}=:S^{n-1},[/mm] also die
> (Einheits-)Sphäre.
> Ebenso gilt für die offene Kugel [mm]B_1(0)=\{x\in R^n: ||x|| <1},[/mm]
> dass [mm]\partial B_1(0)=S^{n-1}.[/mm]
> Hallo,
>
> ZZ.: [mm]\partial K=S^{n-1}[/mm]
> [mm]\subseteq)[/mm]
> x [mm]\in \partial[/mm] K d.h. [mm]\forall\epsilon>0: B_{\epsilon}(x) \cap[/mm]
> K [mm]\not= \emptyset \wedge B_{\epsilon}(x) \cap (\IR^n\setminus[/mm]
> K) [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Angenommen [mm]x\not\in S^{n-1} \Rightarrow[/mm] ||x||>1 [mm]\vee[/mm]
> ||x||<1
>
> Fall 1: ||x||<1
> [mm]\epsilon:= \frac{1-||x||}{2}[/mm]
> ZZ.: [mm]B_{\epsilon}[/mm] (x)
> [mm]\subseteq[/mm] K
> y [mm]\in B_{\epsilon}[/mm] (x) d.h. [mm]||y-x||\le \frac{1-||x||}{2}[/mm]
>
> [mm]||y||=||y||-||x|+||x||\le 2||y-x||+||x||\le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] y
> [mm]\in[/mm] K
> Nun haben wir gerade eine Schutzkugel um x gefunden, die
> ganz in K liegt. Widerspruch zu x Randpunkt.
>
> Fall 2: [mm]||x||\ge[/mm] 1
Du meinst sicher ||x||>1.
> [mm]\epsilon:= \frac{||x||-1}{2}[/mm]
> ZZ.: [mm]B_{\epsilon}[/mm] (x)
> [mm]\subseteq \IR^n\setminus[/mm] K
> y [mm]\in B_{\epsilon}[/mm] (x) [mm]\Rightarrow ||y-x||\le \frac{||x||-1}{2}[/mm]
>
> Problem 1: Den Beweis krieg ich nicht zu Ende...damit
> rauskommt ||y|| > 1.
Es ist ||x||-||y|| [mm] \le ||x-y||<\bruch{||x||-1}{2}
[/mm]
Zeige, dass dann ||y||>1 folgt.
>
> [mm]\supseteq)[/mm]
> s [mm]\in S^{n-1},[/mm] d.h. ||s||=1
> ZZ.: [mm]\forall \epsilon>0: B_{\epsilon}[/mm] (s) [mm]\cap[/mm] K [mm]\not= \emptyset \wedge B_{\epsilon}(s) \cap (\IR^n\setminus[/mm]
> K) [mm]\not= \emptyset[/mm]
> Die erste Aussage ist klar da ||s||=1
> [mm]\Rightarrow ||s||\le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] s [mm]\in[/mm] K. Und natürlich
> ist s selbst in jeder seiner "Schutzkugeln" enthalten.
> Nun aber [mm]\IR^n\setminus[/mm] K = [mm]\{x \in \IR^n :||x||>1\}[/mm] und
> [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig aber fest.
> Ich bin auf der Suche nach einen Punkt x, der in jeder
> Epsilon-Umgebung um s liegt und außerdem im Komplement von
> K.
> Problem 2 Darf ich den Mittelpunkt von K in den Nullpunkt
> setzen??
Hä ???? Der Mittelpunkt von K ist der Nullpunkt !!!
Noch eine Frage: wo kommt der Begriff Schutzkugel her ? Seit Jahrthunderten bin ich in der Mathematik untewrwegs, aber das habe ich noch nie gehört/gesehen / gelesen.
FRED
> Ich schaue mir den Vektor [mm]x=s+\frac{\epsilon}{2}[/mm] *
> [mm]\frac{s}{||s||}=s+\frac{\epsilon}{2}*s =(\frac{2+ \epsilon}{2})s[/mm]
> an.
> [mm]||x||=||(\frac{2+ \epsilon}{2})s||=1+\frac{\epsilon}{2}[/mm] >1
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \IR^n\setminus[/mm] K
> Und [mm]||x-s||=||\frac{\epsilon}{2}[/mm] s|||= [mm]\epsilon/2[/mm] <
> [mm]\epsilon \Rightarrow[/mm] x [mm]\in B_\epsilon[/mm] (s)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in B_\epsilon(s) \cap (\IR^n\setminus[/mm] K)
> [mm]\Rightarrow B_\epsilon(s) \cap (\IR^n\setminus K)\not= \emptyset[/mm]
>
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 11.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für den Hinweis bzgl. Fall 2, konnte diesen so zu Ende bringen.
Bezüglich der Rückrichtung hab ich da etwas verwechselt.
Schutzkugel tauchte im Skript von meinen Professor in Anführungszeichen als Motivation in der Einleitung auf. Als sozusage "naive Vorstellung" zu sehen.
LG,
sissi
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