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| Aufgabe | | Zeigen Sie dass [mm] \pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2})^n \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm] |
hallo
[mm] \IZ[\sqrt{2}]= \{x + y \sqrt{2} | x,y \in \IZ \}
[/mm]
[mm] \alpha \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] <=> [mm] \exists \beta \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm] : [mm] \alpha \beta=1
[/mm]
Sei N(a + b [mm] \sqrt{2}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 2b^2 [/mm] die Normfunktion.
[mm] N(\alpha \beta)= [/mm] 1
<=>
[mm] N(\alpha) [/mm] * [mm] N(\beta)=1
[/mm]
<=> [mm] N(\alpha)=N(\beta)=1
[/mm]
genügt zuzeigen [mm] N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2})^n) [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
was aber schon für n=1 nicht stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm als Normfunktion mal [mm] N(a+b\sqrt{2})=|a^2-2b^2|. [/mm] Dann klappt es. Deine normfunktion ist eher für [mm] \IZ[i\sqrt{2}] [/mm] gedacht.
Aber du kannst es auch direkt zeigen, indem du einfach [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] invertierst. Wenn z das Inverse dazu ist, dann ist [mm] z^n [/mm] das Inverse zu [mm] (1+\sqrt{2})^n.
[/mm]
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Hallo
Nun [mm] N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2}))= [/mm] |1 - 2*1| =|-1|=1
[mm] N(\pm [/mm] ((1+ [mm] \sqrt{2})^n))= N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2}))^n [/mm] = [mm] 1^n [/mm] =1
wegen multiplikativität der Norm
Stimmt das denn?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ja, zumindest wen ihr gezeigt habt, dass $N(x)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]^\*$ [/mm] gilt. Du hast nur die andere Richtung hier gezeigt!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:45 So 20.01.2013 | | Autor: | theresetom |
Also für diese Norm haben wir es nicht gezeigt, nein.
> $ N(x)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*}
[/mm]
Sei N(x)=1 mit x= a+ [mm] \sqrt{2} [/mm] b
dann ist [mm] |a^2 [/mm] - 2 [mm] b^2| [/mm] =1
wie mache ich dass denn?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ich sehe, dass das hier leider auch gar nicht richtig ist, von daher mühe dich da nicht ab. :) z.B. ist [mm] (1+\sqrt{2})^2=3+2*\sqrt{2} [/mm] und das hat nicht Norm 1.
Daher empfehle ich, einfach [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] von Hand zu invertieren. Mit meinem Kommentar ganz oben hast du dann die ganze Aufgabe gelöst.
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Ok_.:
(1+ [mm] \sqrt{2})^{-1}= \frac{1}{1+ \sqrt{2}}= [/mm] -1 - [mm] \sqrt{2} \in \IZ[\sqrt{2}]
[/mm]
(-1- [mm] \sqrt{2})^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{-1-\sqrt{2}}=1- \sqrt{2}
[/mm]
Ich versteh aber nicht wie ich das mit hoch n schaffe.Auch dein Kommentar ist mir dazu nicht ganz klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ok also das Invese von [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] ist [mm] -1+\sqrt{2}. [/mm] Hast dich etwas verrechnet. Dann ist von [mm] (1+\sqrt{2})^2 [/mm] das Inverse aber einfach [mm] (-1+\sqrt{2})^2. [/mm] Und von [mm] (1+\sqrt{2})^3 [/mm] einfach [mm] (-1+\sqrt{2})^3 [/mm] usw.
Und das gleiche kannst du mit [mm] -(1+\sqrt{2}) [/mm] machen, wobei das Inverse dort einfach [mm] -(-1+\sqrt{2})=1-\sqrt{2} [/mm] ist.
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Hallo
ok klar.
Wieso ist [mm] (-1+\sqrt{2})^n \in \IZ[\sqrt{2}][/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Na es gilt für alle n.
Das Inverse von [mm] (1+\sqrt{2})^n [/mm] ist [mm] (-1+\sqrt{2})^n.
[/mm]
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Gut aber wie zeigst du dann das gilt:
(1 + [mm] \sqrt{2})^n [/mm] * (-1+ [mm] \sqrt{2})^n [/mm] =(-1+ [mm] \sqrt{2})^n [/mm] *(1 + [mm] \sqrt{2})^n=1
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 20.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Na du hast doch n-mal [mm] (1+\sqrt{2}) [/mm] und n-mal das Inverse davon, also [mm] (-1+\sqrt{2}). [/mm] Je 2 davon heben sich zu 1 auf.
Alternativ: Benutze [mm] a^n*b^n=(ab)^n.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 So 20.01.2013 | | Autor: | theresetom |
Ich danke dir für die Aufklärung ;)
LG
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