Einheitengruppe eines Rings < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(R,+,\*)$ [/mm] ein Ring mit $1$. Wir definieren:
[mm] $R^\*= \{ r\in R| \text{ es existiert ein }r^{-1} \in R \text{ so dass }r^{-1}\*r=1 \}$
[/mm]
(i) Zeigen Sie, [mm] $(R^\*,\*)$ [/mm] ist Gruppe
(ii) Berechnen Sie die Gruppe [mm] $(R^\*,\*)$ [/mm] für $R= [mm] \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ$
[/mm]
(iii) Berechnen Sie die Gruppe [mm] $(R^\*,\*)$ [/mm] für $R= [mm] \IZ [/mm] / [mm] 8\IZ$
[/mm]
(iv) Sind die beiden Gruppe aus (ii) und (iii) isomorph? |
Hi,
so i) bekomme ich hin aber mir gelingt es nicht die Grp. zu berechnen.
Könnte mir das mal bitte jemand zeigen?
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Hiho,
> so i) bekomme ich hin aber mir gelingt es nicht die Grp. zu berechnen.
> Könnte mir das mal bitte jemand zeigen?
zum Ziel führt hier immer der "harte Weg", es bei allen Elementen durchzuprobieren. Dazu erstmal die Frage: Welche Elemente gibt es denn in [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 5\IZ [/mm] $? Und dann heißts durchprobieren:
Ich machs mal für die ersten beiden vor:
$0 [mm] \not\in \left(\IZ / 5\IZ \right)^\*$, [/mm] da $0*r = 0 [mm] \not= [/mm] 1$ für alle [mm] $r\in \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ$
[/mm]
$1 [mm] \in \left(\IZ / 5\IZ \right)^\*$, [/mm] da $1*1 = 1$
Nun du 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 07.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm](R,+,\*)[/mm] ein Ring mit [mm]1[/mm]. Wir definieren:
> [mm]R^\*= \{ r\in R| \text{ es existiert ein }r^{-1} \in R \text{ so dass }r^{-1}\*r=1 \}[/mm]
Kurze Frage: sind Ringe bei euch kommutativ?
Wenn nicht, dann ist [mm] $R^\*$ [/mm] in eurer Definition keine Gruppe.
LG Felix
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mmh, gute Frage, ich erarbeite mir alles selbst ohne Vorleseung, ich mache das neben der Arbeit. Aber ich denke mal schon, sonst macht i) doch keinen Sinn, oder? und für R* gilt doch auch [mm] r^{-1}*r=1=r*r^{-1}
[/mm]
Ich habe für i) auch kommutative Eigenschaften genutzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Do 07.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> mmh, gute Frage, ich erarbeite mir alles selbst ohne
> Vorleseung, ich mache das neben der Arbeit. Aber ich denke
> mal schon, sonst macht i) doch keinen Sinn, oder? und für
> R* gilt doch auch [mm]r^{-1}*r=1=r*r^{-1}[/mm]
Ja, also sollte es gelten. Das muss man bei nicht-kommutativen Ringen jedoch in der Definition fordern. Ansonsten gibt es Gegenbeispiele.
Nimmst du z.B. den Ring der $K$-Vektorraum-Endomorphismen vom Vektorraum $V = K[X]$ (Polynomring) [die Multiplikation hier ist die Verkettung von linearen Abbildungen], und betrachtest du den Endomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K[X] [mm] \to [/mm] K[X]$, $f [mm] \mapsto [/mm] X [mm] \cdot [/mm] f$, dann ist [mm] $\varphi$ [/mm] keine Einheit, jedoch gibt es ein [mm] $\psi [/mm] : K[X] [mm] \to [/mm] K[X]$ mit [mm] $\psi \cdot \varphi [/mm] = [mm] id_{K[X]}$. [/mm] (Es gibt sogar viele davon.) Umgekehrt ist das [mm] $\psi$ [/mm] ebenfalls nicht invertierbar, hat jedoch eine Inverse von der anderen Seite (naemlich [mm] $\varphi$).
[/mm]
Die korrekte Definition der Einheitengruppe in kommutativen und nichtkommutativen Ringen mit Eins ist [mm] $R^\ast [/mm] = [mm] \{ r \in R \mid \exists s \in R : r \cdot s = 1_R = s \cdot r \}$. [/mm] Damit kann man zeigen, dass [mm] $R^\ast$ [/mm] eine Gruppe ist, ohne zu verwenden dass $R$ kommutativ ist.
(Wenn $R$ ein endlicher Ring oder eine endlichdimensionale Algebra ueber einem Koerper ist reicht die Definition mit Inversen von einer Seite uebrigens aus: in dem Fall ist das dann auch bei nicht-kommutativen Ringen immer eine Gruppe.)
LG Felix
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Danke so weit...
so ich habe dann mal gerechnet:
i) R*= {1, 2, 3, 4 }
ii) R*= {1,3,5,7}
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Fr 08.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke so weit...
>
> so ich habe dann mal gerechnet:
>
> i) R*= {1, 2, 3, 4 }
>
> ii) R*= {1,3,5,7}
>
> Stimmt das?
Wenn du jeweils die Restklassen der Elemente meinst, dann ja.
LG Felix
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ich will gerade schauen, ob die beiden Grp. aus ii) bzw iii) isomorph sind:
meine Idee:
1. Die Anzahl der elemente ist in beiden Grp. gleich (=4), bijektion ist also möglich.
2. [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 5\IZ)* [/mm] ist zyklisch und wird durch 2 erzeugt, da [mm] 2^n [/mm] =1
dagegen ist [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 8\IZ)* [/mm] nicht zyklisch, also sind die beiden Gruppen nicht isomorph.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich will gerade schauen, ob die beiden Grp. aus ii) bzw
> iii) isomorph sind:
>
> meine Idee:
>
> 1. Die Anzahl der elemente ist in beiden Grp. gleich (=4),
> bijektion ist also möglich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. [mm](\IZ[/mm] / [mm]5\IZ)*[/mm] ist zyklisch und wird durch 2 erzeugt, da
> [mm]2^n[/mm] =1
Hier brauchst du eher [mm] $2^n \neq [/mm] 1$ fuer $0 < n < 4$.
> dagegen ist [mm](\IZ[/mm] / [mm]8\IZ)*[/mm] nicht zyklisch, also sind die
> beiden Gruppen nicht isomorph.
>
> Stimmt das?
Ja, das stimmt.
LG Felix
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