Einheiten in Z adjungiert Wurz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Fr 18.10.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Zeige, dass für d>1 quadratfrei der Ring [mm] \IZ[\sqrt{-d}] [/mm] nur die Einheiten [mm] \pm [/mm] 1 hat. |
Hallo!
Mir ist gelungen, dies zu zeigen, allerdings seh ich überhaupt nicht, wo da die Quadratfreiheit eingeht und entsprechend nicht, warum das für Zahlen wie 12 oder 18 nicht gehen sollte...
Man betrachtet die Norm N(a+b [mm] \sqrt{-d}):=a^{2}+b^{2}d
[/mm]
Einheiten erfüllen N(x)=1 und so kommt nur [mm] a=\pm [/mm] 1 in Frage...
Hab auch schon versucht ne andere Einheit zu finden, wenn d nicht quadratfrei ist, bin da aber auch nicht fündig geworden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 18.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass für d>1 quadratfrei der Ring [mm]\IZ[\sqrt{-d}][/mm]
> nur die Einheiten [mm]\pm[/mm] 1 hat.
>
> Mir ist gelungen, dies zu zeigen, allerdings seh ich
> überhaupt nicht, wo da die Quadratfreiheit eingeht und
> entsprechend nicht, warum das für Zahlen wie 12 oder 18
> nicht gehen sollte...
Die Voraussetzung wird hier auch nicht gebraucht.
> Man betrachtet die Norm N(a+b [mm]\sqrt{-d}):=a^{2}+b^{2}d[/mm]
> Einheiten erfüllen N(x)=1 und so kommt nur [mm]a=\pm[/mm] 1 in
> Frage...
Genau.
> Hab auch schon versucht ne andere Einheit zu finden, wenn
> d nicht quadratfrei ist, bin da aber auch nicht fündig
> geworden
Du hast auch keine Chance, denn wie du schon gezeigt hast: es gibt keine 
LG Felix
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