Einheiten Z[sqrt(2)] isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Do 12.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man kann zeigen, dass [mm] \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] = [mm] \{ \pm(1+\sqrt{2})^n |n \in \IZ\} [/mm] ist. Folgern sie aus dieser unbewiesenen Tatsache
[mm] (\IZ[\sqrt{2}]^{\*},\cdot) \cong (\IZ_2 \times \IZ, [/mm] +) |
Hallo,
Zuerst ist [mm] (\IZ_2, [/mm] +) [mm] \cong (\{-1,1\},*)
[/mm]
Daraus folgt [mm] \IZ_2 \times \IZ \cong \{-1,1\} \times \IZ
[/mm]
Definiere:
[mm] \phi: \{-1,1\} \times \IZ \to \IZ[\sqrt{2}]^{\*}
[/mm]
mit [mm] \phi(a,z)=a(1+\sqrt{2})^z
[/mm]
-) [mm] \phi [/mm] ist injektiv?
[mm] \phi(a,z)=\phi(b,w)
[/mm]
a [mm] \underbrace{(1+\sqrt{2})^z}_{\ge 0 }=b \underbrace{(1+\sqrt{2})^w}_{\ge 0 }\Rightarrow [/mm] a=b
[mm] (1+\sqrt{2})^z=(1+\sqrt{2})^w \Rightarrow [/mm] z=w da [mm] ord(\IZ[\sqrt{2}]^{\*})= \infty
[/mm]
-) [mm] \phi [/mm] ist surjektiv?
Folgt aus [mm] \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] = [mm] \{ \pm(1+\sqrt{2})^n |n \in \IZ\}
[/mm]
-) [mm] \phi [/mm] Homomorphismus?
[mm] \phi((a,z)+(b,w))=\phi(a*b,z+w)= [/mm] ab [mm] (1+\sqrt{2})^{z+w}
[/mm]
[mm] \phi(a,z)+\phi(b,w)= a(1+\sqrt{2})^z [/mm] * b [mm] (1+\sqrt{2})^w
[/mm]
Passt das alles so?
Mein Sorge ist dass ich bei [mm] \{-1,1\} \times \IZ [/mm] einerseits in der ersten Komponente multipliziere und in der zweiten Komponente addiere. Darf ich das so machen im aüßeren direkten Produkt?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 12.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Passt das alles so?
> Mein Sorge ist dass ich bei [mm]\{-1,1\} \times \IZ[/mm] einerseits
> in der ersten Komponente multipliziere und in der zweiten
> Komponente addiere. Darf ich das so machen im aüßeren
> direkten Produkt?
Ja, darfst du! Ob du die Verknüpfung 'mal' oder 'plus' oder 'meyer' oder 'lehmann' nennst, ist völlig egal. Die beiden letzteren Namen sind allerdings bei Verknüpfungen selten, sogar sehr selten.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 12.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Absicherung.
Liebe Grüße,
sissi
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