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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 26.06.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Beweise: Ein einfacher Modul M ist isomorph zu R/m, wobei m ein maximales Ideal ist. |
Hi!
Hier habe ich leider keinen guten Ansatz. Ich konnte nur zeigen, dass jedes Element aus M (außer 0) schon M erzeugt.
Ich wollte versuchen, irgendeinen Homomorphismus zwischen M und R/m anzugeben und diesen auf Bijektivität überprüfen, aber ich weiß nicht, welchen man da nehmen kann, da ich ja nicht weiß, wie die Elemente in M aussehen. Ansonsten kenne ich auch keine Sätze, die mir das Gewünschte liefern würden. Aber wahrscheinlich gibt es einen, denn so schwierig sollte die Aufgabe eigentlich nicht sein.
Kann mir da bitte jemand einen Ansatz geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweise: Ein einfacher Modul M ist isomorph zu R/m, wobei m
> ein maximales Ideal ist.
> Hi!
>
> Hier habe ich leider keinen guten Ansatz. Ich konnte nur
> zeigen, dass jedes Element aus M (außer 0) schon M
> erzeugt.
Das ist ein guter Anfang.
> Ich wollte versuchen, irgendeinen Homomorphismus zwischen M
> und R/m anzugeben und diesen auf Bijektivität
> überprüfen, aber ich weiß nicht, welchen man da nehmen
> kann, da ich ja nicht weiß, wie die Elemente in M
> aussehen. Ansonsten kenne ich auch keine Sätze, die mir
> das Gewünschte liefern würden. Aber wahrscheinlich gibt
> es einen, denn so schwierig sollte die Aufgabe eigentlich
> nicht sein.
Schau dir $f : R [mm] \to [/mm] M$, $r [mm] \mapsto [/mm] r x$ an, wobei $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ein fest gewaehltes Element ist. Diese Abbildung ist ein surjektiver $R$-Modulhomomorphismus.
Der Kern ist somit ein $R$-Untermodul von $R$, also ein Ideal. Was kannst du ueber $R$-Untermoduln zwischen [mm] $\ker [/mm] f$ und $R$ selber sagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 26.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm, gut, alles klar.
Nur die Frage kann ich leider nicht beantworten. Vielleicht ist das auch wieder so eine Sache, die noch nicht in der Vorlesung dran kam. :s
Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass vielleicht ker(f) ein maximales Ideal in R ist und dann folgt eventuell aus dem Homomorphiesatz (den ich auch nur von Wikipedia habe), dass [mm] $R/ker(f)\cong [/mm] f(R)=M$ (da f surjektiv) ist.
Stimmt das?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hi!
>
> Hm, gut, alles klar.
> Nur die Frage kann ich leider nicht beantworten.
> Vielleicht ist das auch wieder so eine Sache, die noch
> nicht in der Vorlesung dran kam. :s
>
> Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass vielleicht
> ker(f) ein maximales Ideal in R ist und dann folgt
Das muss man noch zeigen. Aber damit:
> eventuell aus dem Homomorphiesatz (den ich auch nur von
> Wikipedia habe), dass [mm]R/ker(f)\cong f(R)=M[/mm] (da f surjektiv)
> ist.
> Stimmt das?
Ja, das stimmt. Nun ist also $M [mm] \cong [/mm] R/ker(f)$, und man muss somit zeigen, dass $ker(f)$ ein maximales Ideal ist.
Dazu verwendet man folgende Aussage: ist $g : M [mm] \to [/mm] N$ ein surjektiver $R$-Modul-Homomorphismus, so induziert dieser eine Bijektion [mm] $\{ U \subseteq N \mid U \text{ ist } R\text{-Untermodul von } N \} \to \{ V \subseteq M \mid V \text{ ist } R\text{-Untermodul von } M \text{ mit } \ker g \subseteq V \}$ [/mm] vermoege $U [mm] \mapsto g^{-1}(U)$. [/mm] Diese Bijektion ist weiterhin inklusionserhaltend.
Damit sieht man: da $f : R [mm] \to [/mm] M$ surjektiv ist und $M$ einfach (und nichttrivial!) ist, gibt es in $R$ genau zwei Ideale, die [mm] $\ker [/mm] f$ enthalten. Das eine davon ist $R$ selber, das andere [mm] $\ker [/mm] f$. Aber das bedeutet eben, dass [mm] $\ker [/mm] f$ ein maximales Ideal ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Super, jetzt hab ich alles zusammen!
Die Aufgabe finde ich etwas happig, dafür, dass wir z.B. auch den Homomorphiesatz nicht hatten, aber nun ja.
Aber vielen Dank für alles!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 27.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Die Aufgabe finde ich etwas happig, dafür, dass wir z.B.
> auch den Homomorphiesatz nicht hatten, aber nun ja.
das sehe ich auch so...
LG Felix
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