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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 So 06.09.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=\bruch{\wurzel{1+x^2}}{1+x}.
[/mm]
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x gegen [mm] \pm \infty. [/mm] |
Tag Leute,
ich steh grad etwas aufm Schlauch und bin nich sicher wie hier das beste Vorgehen wäre. Ich muss ja lediglich den Grenzwert bilden nur wie mach ich das am geschicktesten?
Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 06.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo kegel!
Klammere zunächst unter Wurzel [mm] $x^2$ [/mm] aus und im Nenner $x_$ .
Nach anschließendem Kürzen kannst Du die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 06.09.2009 | | Autor: | kegel53 |
Gut schön wenn ich das mache ist der Grenzwert für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] bei [mm] f(x)=\wurzel{1}=\pm [/mm] 1. Woher weiß ich jetzt das für x gegen [mm] \infty [/mm] der Grenzwert 1 ist und nicht -1.
Außerdem ist die Wurzel aus 1 doch als diejenige nichtnegative Zahl definiert die mit sich selbst multipliziert 1 ergibt also dürfte -1 gar keine Lösung sein oder?
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Hallo kegel53,
> Gut schön wenn ich das mache ist der Grenzwert für x
> gegen [mm]\pm \infty[/mm] bei [mm] $f(x)=\red{\pm}\wurzel{1}=\pm [/mm] 1. (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
Hier bin ich gar nicht ganz sicher, ob du das richtig meintest ..., es war zumindest nicht ganz richtig aufgeschrieben
> Woher weiß ich
> jetzt das für x gegen [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
der Grenzwert 1 ist und nicht
> -1.
Das kannst du doch an der Umformung, die Loddar dir empfohlen hat, ablesen.
Bedenke, dass $\sqrt{z^2}=\red{|}z\red{|}$
Also $\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x}=\frac{\sqrt{x^2\cdot{}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}}{x\cdot{}\left(\frac{1}{x}+1\right)}$
$=\frac{|x|\cdot{}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x\cdot{}\left(\frac{1}{x}+1\right)}$
Und das gibt, je nachdem, ob $x>0$ oder $x<0$ ist
$\pm\frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{\frac{1}{x}+1}}$
Bzw. etwas eleganter aufgeschrieben $=sgn(x)\cdot{}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{\frac{1}{x}+1}}$
Wenn du den Limes für $x\to +\infty$ betrachtest, ist insbesondere $x>0$, also $sgn(x)=1$ und du hast $\lim\limits_{x\to +\infty}\red{+}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{\frac{1}{x}+1}}=+1$
> Außerdem ist die Wurzel aus 1 doch als diejenige
> nichtnegative Zahl definiert die mit sich selbst
> multipliziert 1 ergibt also dürfte -1 gar keine Lösung
> sein oder?
Das verstehe ich nicht ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 So 06.09.2009 | | Autor: | kegel53 |
Eine voll und ganz zufrieden stellende Antwort  .
Vielen Dank.
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