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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] a^{6}+a^{3}+1 [/mm] =0 und ß^3-1 = 0
Ist die Körpererweiterung [mm] \IQ(a,b)/\IQ [/mm] einfach ?
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Hallo,
also ich habe als Nullstellen der Polynome:
[mm] a_{1}=\wurzel[3]{e^{2/3*\pi*i}}
[/mm]
[mm] a_{2}=\wurzel[3]{e^{4/3*\pi*i}}
[/mm]
und
[mm] b_{1}=1
[/mm]
[mm] b_{2}=e^{4/3*\pi*i}
[/mm]
[mm] b_{3}=e^{2/3*\pi*i}
[/mm]
Habe dann überprüft, ob jeweils z.B. [mm] a_{i}\in\IQ(b_{i}).
[/mm]
damit wäre dann ja die entsprechende Körpererweiterung einfach.
Habe als Ergebnis, dass für alle Paare (a,b) die Körpererweiterung einfach ist, ausgenommen [mm] (a_{2},b_{3}). [/mm] Stimmt das ?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Di 18.12.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Seien a,b [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]a^{6}+a^{3}+1[/mm] =0 und ß^3-1 = 0
> Ist die Körpererweiterung [mm]\IQ(a,b)/\IQ[/mm] einfach ?
> also ich habe als Nullstellen der Polynome:
> [mm]a_{1}=\wurzel[3]{e^{2/3*\pi*i}}[/mm]
> [mm]a_{2}=\wurzel[3]{e^{4/3*\pi*i}}[/mm]
Das müßten aber 6 Nullstellen sein.
> und
>
> [mm]b_{1}=1[/mm]
> [mm]b_{2}=e^{4/3*\pi*i}[/mm]
> [mm]b_{3}=e^{2/3*\pi*i}[/mm]
>
> Habe dann überprüft, ob jeweils z.B. [mm]a_{i}\in\IQ(b_{i}).[/mm]
> damit wäre dann ja die entsprechende Körpererweiterung
> einfach.
Gemeint ist wohl [mm] a_{i} \in \IQ(b_{j})? [/mm] Das ist für j = 1 aber nicht der Fall!
> Habe als Ergebnis, dass für alle Paare (a,b) die
> Körpererweiterung einfach ist, ausgenommen [mm](a_{2},b_{3}).[/mm]
> Stimmt das ?
Nein, das stimmt so nicht. Vielleicht erklärst du mal etwas genauer, was du überhaupt gerechnet hast, damit man die schadhafte Stelle findet.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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