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| Aufgabe | | |x-3|-|2-x| [mm] \ge [/mm] 1 |
Ok, wie löse ich diese Gleichung OHNE den Zahlenstrahl.
Ich habe mir gesagt, dass
|x-3| [mm] \ge [/mm] 1+|2-x| ja heißt, dass der Abstand von x zu 3 größer sein muss als die Summe von 1 und dem Abstand von x zu 2. Das ist für alle x < 2 der Fall. Aber wie löse ich das algebraisch?
Ich habe die Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isildurs_Fluch!
Für eine saubere algebraische Lösung musst Du hier die Definition der Betragsfunktion anwenden sowie entsprechende Fallunterscheidungen:
Fall 1: $x-3 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3$
Fall 1.1: $2-x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $2 \ [mm] \ge [/mm] \ x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ 2$
Dies widerspricht jedoch der Annahme $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ : also gibt es im Fall 1.1 keine Lösung.
Fall 1.2: $2-x \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $2 \ < \ x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 2$
Hier liegt als der Fall $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ vor:
$|x-3|-|2-x| \ = \ +(x-3)-[-(2-x)] \ = \ x-3+2-x \ = \ -1 \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
Ebenfalls Widerspruch: also auch keine Lösung.
Kannst Du nun die Fälle 2.1 und 2.2 selber ermitteln und untersuchen?
Gruß
Loddar
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Ok, ist klar.
Ergebnis kommt dann beim Fall:
(x-3)<0 -> x<3
(2-x)>0 -> x<2
[-(x-3)]-[(2-x)] [mm] \ge [/mm] 1
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1 [mm] \ge [/mm] 1
Danke Schön!
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