Einfach zusammenhängende Menge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mi 14.11.2007 | | Autor: | linder05 |
| Aufgabe | Für jedes nichtleere Gebiet [mm] $\mathcal{G}\subseteq \mathbb{C}$ [/mm] sind
äquivalent:
(a) [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist ein Elementargebiet
(b) In [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] gilt der Cauchysche Integralsatz; d.h.:
Ist [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] stückweise stetig
differenzierbare geschlossene Kurve, so gilt
[mm] \begin{displaymath}
\forall f \in \mathcal{O(G)}: \int_{\gamma}f(z)dz=0
\end{displaymath}
[/mm]
(c) In [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] gilt die Cauchysche Integralformel; d.h.:
Ist [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] stückweise stetig
differenzierbare geschlossene Kurve, so gilt
[mm] \begin{displaymath}
\forall f \in \mathcal{O(G)}\ \forall z \in \mathcal{G}\setminus
T_{\gamma}:\ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta -
z}d\zeta=w(\gamma,z)f(z)
\end{displaymath}
[/mm]
(d) Ist [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] stückweise stetig
differenzierbare geschlossene Kurve, so ist [mm] $Int(\gamma)\subset
[/mm]
[mm] \mathcal{G}$
[/mm]
(e) Ist [mm] $f\in \mathcal{O(G)}$ [/mm] nirgends verschwindend, so
existiert in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ein holomorpher Zweig des Logarithmus von
$f$
(f) Ist [mm] $f\in \mathcal{O(G)}$ [/mm] nirgends verschwindend, so
existiert in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ein holomorpher Zweig der Wurzel von $f$
(g) Es ist [mm] $\mathcal{G}=\mathbb{C}$ [/mm] oder [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist
konform äquivalent zu [mm] $\mathbb [/mm] E$
(h) [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist homöomorph zu [mm] $\mathbb [/mm] E$ (d.h. es gibt
eine in beiden Richtungen stetige Bijektion von [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] auf
[mm] $\mathbb [/mm] E$)
(i) [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist einfach zusammenhängend
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Ich arbeite momentan an einer umfangreicheren Arbeit, in der ich die einzelnen Implikationen beweisen muss. Dies klappt auch recht gut :) bin aber noch auf der Suche nach einfachen Beispielen, bei denen man die Implikationen nachvollziehen kann.
Und ich suche nach Gegenbeispielen (Mengen, die nicht einfach zusammenhängend sind), bei denen diese Implikationen scheitern.
Besten Dank für eure Tipps!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich arbeite momentan an einer umfangreicheren Arbeit, in
> der ich die einzelnen Implikationen beweisen muss. Dies
> klappt auch recht gut :) bin aber noch auf der Suche nach
> einfachen Beispielen, bei denen man die Implikationen
> nachvollziehen kann.
Das einfachste Beispiel für solche einfach zusammenhängenden Gebiete ist eine Kreisscheibe, zum Beispiel [mm]|z|<1[/mm]. Andere einfache Gebiete bekommst du, in dem eine konforme Abbildung nimmst und das Bild der Kreisscheibe unter der Abbildung anschaust.
> Und ich suche nach Gegenbeispielen (Mengen, die nicht
> einfach zusammenhängend sind), bei denen diese
> Implikationen scheitern.
Eine Kreisscheibe, aus der ein Punkt entfernt wurde. [mm]0<|z|<1[/mm], allgemeiner ein Kreisring [mm]r<|z|
Viele Grüße
Rainer
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