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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Ein Bildschirm stehe senkrecht und im Abstand a zu einer Bildröhre. Nun verlässt ein Teilchen die Röhre an einer festen STelle mit einem zufälligen Winkel Alpha und trifft den Bildschirm auf der Höhe X. (Der Nullpunkt sei gegenüber der Austrittsstelle)
Berechnen Sie die Verteilungsfunkrion und Dichte der Zufallsvariablen X unter der Annahme, dass Alpha gleichmäßig auf dem Intervall [- [mm] \pi/4; \pi/4] [/mm] verteilt ist
Zeichnung:
http://n.ethz.ch/~cdaniel/download/4.%20Semester%20FS10/WuS/serie05.pdf |
[mm] f_{\alpha} (\phi) [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi/4 + \pi/4} [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi} [/mm] wobei [mm] \phi \in [-\pi/4, \pi/4] [/mm] sonst ist die Dichte 0
[mm] F_{\alpha} (\phi)= \int_{-\pi/4}^{\phi} \frac{2}{\pi} [/mm] = [mm] (\phi [/mm] + [mm] \pi/4) [/mm] * [mm] \frac{2}{\pi} [/mm] wobei [mm] \phi \in [-\pi/4, \pi/4] [/mm]
und 1 für [mm] \phi \ge \pi/4 [/mm] und 0 sonst
[mm] F_X [/mm] (t)= P(X [mm] \le [/mm] t)= [mm] P(tan(\alpha) [/mm] * a [mm] \le t)=P(\alpha \le [/mm] arctan(t/a)) = [mm] F_{\alpha} [/mm] (arctan(t/a))= [mm] \begin{cases} (arctan(t/a)+\pi/4)*2/\pi, & \mbox{für } -\pi/4 \le arctan(t/a) \le \pi/4 \\ 1, & \mbox{für } arctan(t/a) > \pi/4 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_X [/mm] (t)= [mm] \begin{cases} \frac{1}{1+(t/a)^2}*\frac{2}{a \pi}, & \mbox{für } -\pi/4 \le arctan(t/a) \le \pi/4 <=>tan(-\pi/4) \le t/a \le tan(\pi/4)<=>-1 \le t/a \le 1<=>-a \le t \le a \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Ist das richtig?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 17.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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