Eindeutigkeitssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Begründen Sie, warum für y'=x [mm] \wurzel{y}, [/mm] y(0)=0 der Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist. |
Hallo.
Klar, f(x,y)=x [mm] \wurzel{y} [/mm] ist nicht Lipschitz in der zweiten Komponente und damit der Satz über die Eindeutigkeit der Lösung nicht anwendbar. Aber es hakt beim Beweis:
|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm] \wurzel{y}- \wurzel{z}| [/mm] Mit z=0 folgt
|x| [mm] \wurzel{y} \le [/mm] Ly (Betrag kann weg gelassen werden, da y>0). Also
|x| [mm] \le \wurzel{y} [/mm] Jetzt lasse ich y-->0 gehen und erhalte |x| [mm] \le [/mm] 0 Und das ist ja ein Widerspruch.
Ist das so ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Begründen Sie, warum für y'=x [mm]\wurzel{y},[/mm] y(0)=0 der
> Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist.
> Hallo.
>
> Klar, f(x,y)=x [mm]\wurzel{y}[/mm] ist nicht Lipschitz in der
> zweiten Komponente und damit der Satz über die
> Eindeutigkeit der Lösung nicht anwendbar. Aber es hakt
> beim Beweis:
>
> |f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm]\wurzel{y}- \wurzel{z}|[/mm]
???? Du machst also eine Widerspruchsbeweis und nimmst an, es gäbe ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit......
Dann sollte es lauten:
|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm]\wurzel{y}- \wurzel{z}| \le L|y-z|[/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle y,z [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
> Mit z=0 folgt
> |x| [mm]\wurzel{y} \le[/mm] Ly (Betrag kann weg gelassen werden, da
> y>0).
y [mm] \ge [/mm] 0.
Jetzt passt es wieder.
> Also
> |x| [mm]\le \wurzel{y}[/mm]
..... für alle y>0.
> Jetzt lasse ich y-->0 gehen und
> erhalte |x| [mm]\le[/mm] 0 Und das ist ja ein Widerspruch.
>
> Ist das so ok?
Ja, bis auf das, was ich bemängelt habe.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Annahme: es gibt ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| $ [mm] \wurzel{y}- \wurzel{z}| \le [/mm] L|y-z| $ für alle x $ [mm] \in \IR [/mm] $ und alle y,z $ [mm] \in [/mm] $ [0, $ [mm] \infty) [/mm] $
kannst Du auch ganz einfach durch ein Zahlenbeispiel widerlegen:
x=6L, y=9 und z=4 liefern den Unfug
L=0 oder 6 [mm] \le [/mm] 5.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Begründen Sie, warum für y'=x [mm]\wurzel{y},[/mm] y(0)=0 der
> Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist.
Begründung Nr.3: wäre der Eindeutigkeitssatz anwendbar, so gäbe es Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I, derart, dass obiges AWP auf I genau eine Lösung hat.
Das ist aber nicht der Fall, denn
[mm] y_1(x)=0 [/mm] und [mm] y_2(x)=\bruch{1}{16}x^4 [/mm] sind Lösungen des obigen AWPs.
Preisfrage (zu gewinnen gibts nix !): wie bin ich wohl auf [mm] y_2 [/mm] gekommen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
Danke für deine Antworten!
Wie du auf [mm] y_2 [/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung der Veränderlichen machen. Oder mit scharfem Hinsehen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antworten!
>
> Wie du auf [mm]y_2[/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung
> der Veränderlichen machen.
Ja, dann mach mal.
> Oder mit scharfem Hinsehen
Dazu braucht man schon viel Übung und ein gutes Auge !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 05.02.2015 | | Autor: | rollroll |
> > Danke für deine Antworten!
> >
> > Wie du auf [mm]y_2[/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung
> > der Veränderlichen machen.
>
>
> Ja, dann mach mal.
Wie das geht ist schon klar. Du hast die Lösung ja auch schon angegeben. Ich erhalte dasselbe Ergebnis.
>
> > Oder mit scharfem Hinsehen
>
> Dazu braucht man schon viel Übung und ein gutes Auge !
>
Dein Post hatte sich so angehört, als hättest du einen Trick verwendet.
> FRED
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