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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ich bin bei der Lösung einer Aufgabe auf ein klitzekleines Verständnisproblem gestoßen. Es handelt sich um eine lineare Abb. f: [mm] R^3 \to [/mm] R, wobei man folgende Auswertungen kennt:
f(1,1,-3)=4, f(5,3,-17)=1, f(0,1,1)=-2
Die Frage ist nun, ob diese Abbildung eindeutig bestimmt ist. Vom Gefühl her würd ich überprüfen, ob die eingesetzten Vektoren lin. unabh. sind. In diesem konkreten Fall sind sie aber lin. abh. und daher ist f nicht eindeutig bestimmt. Wären sie lin. unabh. hätte ich eine eindeutig bestimmte Abbildung von [mm] R^3 \to [/mm] R. Ist das so richtig?
Wenn ja, warum? Mein Ansatz basiert nämlich eher auf Intuition. Wär toll, wenn mir da wer helfen könnte.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Do 23.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich hab jetzt nicht überprüft, ob sie lin. unabhängig sind oder nicht, aber deine Argumentation ist richtig, denn wären es drei lin. unabhängige Vektoren (also hier eine Basis), könnte man jeden Vektor v als Linearkombination der drei Vektoren schreiben, also zum Beispiel:
[mm] $\vec{v}=a*\vec{s}+b*\vec{t}+c*\vec{u}$ [/mm] (wobei s,t und u deine Vektoren sein sollen und die koeffizienten a,b und c sind eindeutig bestimmt)
dann ist wegen der linearität [mm] $f(v)=f(a*\vec{s}+b*\vec{t}+c*\vec{u})=a*f(s)+b*f(t)+c*f(u)=a*(4)+b*(1)+c*(-2)$
[/mm]
also hast du das bild schon eindeutig bestimmt für jeden Vektor.
viele Grüße
DaMenge
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