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Nix rumgepostet.
Probe-Prüfung Stochastik Uni Zürich Aufgabe 1a
Aufgabe:
Angenommen, eine Einbrecherin hat bei jedem Einbruch eine konstante Wahrscheinlichkeit von 0.1 von der Polizei
gefasst zu werden. Wie ist die erwartete Zeit (gemessen in Anzahl Einbrüchen), bis die Einbrecherin gefasst wird?
Setzen Sie Unabhängigkeit voraus.
mein Lösungsvorschlag:
[mm]p\ =\ 0.1
[/mm]
[mm]Erwartungswert\ \mu \ =\ n *p\ =\ n*0.1\ =\ 1
[/mm]
[mm]Anzahl \ Einbr\ddot u che \ n \ =\ \bruch{1}{0.1} \ =\ \underline{10}
[/mm]
Die Einbrecherin wird nach aller Wahrscheinlichkeit bei ihrem 10. Einbruch gefasst.
Danke für Feedback + Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Beni!
Das ist leider falsch.
Die Zeit $X$, an der die Einbrecherin (zum ersten Mal) geschnappt wird, ist geometrisch verteilt mir $p=0.1$ und $q=0.9$, d.h. es gilt:
$P(X=n) = [mm] 0.9^{n-1} \cdot [/mm] 0,1$.
Wie lautet also der Erwartungswert?
Entweder du kennst die Formel für den Erwartungswert der geometrischen Verteilung oder aber du musst
$E[X] = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \cdot [/mm] P(X=n)$
explizit berechnen.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan
Danke für die promte Antwort. Ich gebe Dir Recht mit der geometrischen Verteilung, die mir tatsächlich nicht sofort eingefallen ist, vermutlich, weil ich nicht so oft russisches Roulette spiele 
Bei der Berechnung des Erwartungswertes würde ich allerdings (in Übereinstimmung mit meinem Statistikbuch: Hans Heiner Storrer: Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften II, Basel 1995, Seite 133) von einer anderen Formel ausgehen:
[mm]Erwartungswert\ E(X) \ = \ \mu \ \ = \ \bruch{1}{p} [/mm]
hier also
[mm]Erwartungswert\ \ \mu \ = \ \bruch{1}{0.1} \ = \ \bruch{1}{ \bruch{1}{10} } \ = \ \underline{10} [/mm]
Was bedeutet, dass mein ursprüngliches Ergebnis nicht allzuweit vom Zielwert entfernt lag 
(Manchmal finden auch die Dummen ein Goldstück)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Beni!
Dies ist keine andere Formel, sondern nur meine Formel ausgerechnet:
$E[X]$
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \cdot 0.9^{n-1} \cdot [/mm] 0.1$
$=0. 1 [mm] \cdot \frac{1}{(1-0.9)^2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{0.1}{0.1^2}$
[/mm]
$=10$.
Allgemeiner:
$E[X]$
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \cdot q^{n-1} \cdot [/mm] p$
$=p [mm] \cdot \frac{1}{(1-q)^2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{p}{p^2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{p}$.
[/mm]
Daher meinte ich ja: Entweder du kennst die Formel für den Erwartungswert oder aber du rechnest sie via [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] \cdot 0.9^{n-1} \cdot [/mm] 0.1$ aus.
In beiden Fällen kommt dann als Erwartungswert $10$ raus.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 12.07.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Stefan
Allerbesten Dank. Jetzt ist die Welt allerseits in Ordnung.
Gruss zurück.
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