Einbettungen von Lp-Räumen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:34 Do 12.02.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich versuche grade zu ergründen, welche Lp-Räume sich jetzt
> wie ineinander einbetten.
>
> Frage 1:
> Die allgemeinste Aussage dazu habe ich bisher im
> englischen Wiki-Artikel zu
> ![[]](/images/popup.gif) Lp spaces
> gefunden, allerdings verstehe ich sie nicht ganz:
>
> Was ist mit "iff S does not contain sets of arbitrarily
> large measure" gemeint? Dass keine (echte?) Teilmenge von S
> das Maß unendlich haben darf?
Erstmal: iff ist eine Abkuerzung fuer if and only if (genau dann wenn). Falls du das nicht schon wusstest :)
Erstmal ist damit gesagt, dass es ein $C > 0$ geben muss mit [mm] $\mu(U) \le [/mm] C$ fuer alle messbaren Teilmengen $U$ von $S$. Das bedeutet allerdings nichts anderes, als dass [mm] $\mu(S) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist, also das Mass endlich ist. Oder anders gesagt: es gibt keine messbare Teilmenge von $S$, deren Mass unendlich ist.
Das Lebesgue-Mass auf [mm] $\IR^n$ [/mm] erfuellt dies nicht, das auf $[a, b]$ allerdings schon.
> Und was ist dann mit "iff S does not contain sets of
> arbitrarily small measure" gemeint? Ein unendliche kleines
> Maß gibt's ja wohl nicht, null ist doch das Kleinste.
Gemeint ist: es gibt ein $C > 0$ so, dass fuer jede messbare Teilmenge $U$ von $S$ entweder [mm] $\mu(U) [/mm] = 0$ oder [mm] $\mu(U) \ge [/mm] C$ ist.
Das Lebesgue-Mass auf [mm] $\IR^n$ [/mm] erfuellt dies nicht, das Lebesgue-Mass auf $[a, b]$ ebenfalls nicht.
> Frage 2:
> Im deutschen Wiki-Artikel zum
> Lp-Raum
> habe ich eine Aussage für endliche Maße gefunden. Ich nehme
> an, das Lebesgue-Maß über \IR^n ist nicht endlich, weil
> \lambda (\IR^n ) = \infty, stimmt das?
Genau.
> Frage 3:
> Das Lebesgue-Maß ist lokal \sigma- endlich, ist es
> eigentlich auch \sigma-endlich?
Was genau ist ein lokal [mm] $\sigma$-endliches [/mm] Mass? Ich kenne nur [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Masse, und das Lebesgue-Mass ist ein solches: [mm] $\IR^n$ [/mm] laesst sich als abzaehlbare Vereinigung von Mengen mit endlichem Mass schreiben, etwa von $[-m, [mm] m]^n$ [/mm] mit $m [mm] \in \IN$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 12.02.2009 | | Autor: | Scholli |
Cool, Danke dir! Über das iff hatte ich mich tatsächlich schon gewundert :)
> Was genau ist ein lokal [mm]\sigma[/mm]-endliches Mass?
In unserer Vorlesung wurde ein Maß \mu aus dem Maßraum (\IR^p, \mathcal{L}_p, \mu) lokal \sigma-endlich (auf \mathcal{L}_p) genannt, wenn für jede kompakte Menge K \subset \IR^p gilt: \mu(K) < \infty, wobei \mathcal{L}_p die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen darstellt. (Skript, Seite 375)
Die komische Mischung aus einem beliebigem Maß \mu und den Lebesgue-messbaren Mengen \mathcal{L}_p rührt daher, dass der Begriff zum Beweis der Eindeutigkeit des Lebesgue-Maßes verwendet wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 12.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Was genau ist ein lokal [mm]\sigma[/mm]-endliches Mass?
>
> In unserer Vorlesung wurde ein Maß \mu aus dem Maßraum
> (\IR^p, \mathcal{L}_p, \mu) lokal \sigma-endlich (auf
> \mathcal{L}_p) genannt, wenn für jede kompakte Menge K \subset \IR^p
> gilt: \mu(K) < \infty, wobei \mathcal{L}_p die Menge der
> Lebesgue-messbaren Mengen darstellt.
> (Skript, Seite 375)
Ah, sowas hab ich schon vermutet :) Da [mm] $\IR^p$ [/mm] durch abzaehlbar viele kompakte Mengen abdeckbar ist, ist lokal [mm] $\sigma$-endlich [/mm] hier mit (global) [mm] $\sigma$-endlich [/mm] aequivalent.
LG Felix
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