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| Aufgabe | | [mm] \integral_{ }^{ }{1/(sin(x)^{3})dx} [/mm] |
Wie integriere ich das? Partiell? Mit substitution? Mein Freund kriegt es auch nicht raus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:16 Sa 08.07.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
Dieses Integral löst man am besten durch Substitution!
[mm] \integral_{ }^{ }{1/(sin(x)^{3})dx}
[/mm]
Nun substituiert man [mm] sin(x^3) [/mm] durch u.
Dann hat man das Integral: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{u}dx}
[/mm]
Nun hat man also [mm] sin(x^3)=u
[/mm]
Das wird nun nach dx abgeleitet. Dann erhält man: [mm] \bruch{du}{dx}=3x^2cos(x^3)
[/mm]
Nun löst man nach dx auf und erhält: [mm] dx=\bruch{du}{3x^2cos(x^3)}
[/mm]
Das setzt man nun in das Integral für dx ein und erhält:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*\bruch{1}{3x^2cos(x^3)}du}
[/mm]
Nun zieht man den Bruch mit x vor das Integral weil es muss ja nur noch nach du integriert werden! Man erhält dann:
[mm] \bruch{1}{3x^2cos(x^3)}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}}du.
[/mm]
Das Integral von [mm] \bruch{1}{u} [/mm] ist einfach denn es ist einfach der ln(u).
Nun substituiert man das u wieder zurück und erhält am Ende das gesuchte Integral: [mm] \bruch{1}{3x^2cos(x^3)}*ln(sin(x^3))
[/mm]
Das wars dann auch schon!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 08.07.2006 | | Autor: | ardik |
> Nun zieht man den Bruch mit x vor das Integral weil es muss
> ja nur noch nach du integriert werden!
x und u sind aber voneinander abhängig!
Im x "steckt" ja immer noch u drin.
Es darf daher nicht wie eine Konstante aus dem Integral herausgezogen werden.
Einen brauchbaren Lösungsansatz habe ich im Augenblick aber auch nicht. :-(
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo! Da sich der Abgabetermin verschoben hat bin ich nun immernoch an der Lösung dieser Aufgabe interessiert!
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Hi, rauchende_birne,
also jedenfalls ist das Ergebnis:
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{cos(x)}{(sin(x))^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*ln|tan(\bruch{x}{2})|
[/mm]
und wenn ich das so sehe, vermute ich (ohne es voll durchgerechnet zu haben!), dass man den Nenner folgendermaßen umformt:
[mm] (sin(x))^{3} [/mm] = [mm] sin(x)*(sin(x))^{2} [/mm] = [mm] sin(x)*(1-(cos(x))^{2}) [/mm]
und dann z=cos(x) substituiert.
Wenn mich nicht alles täuscht (Denkfehler KEINESWEGS ausgeschlossen!) führt das dann auf ein Integral der Art
[mm] \integral{\bruch{1}{(1-z^{2})^{2}} dz}
[/mm]
Probiert das mal aus!
mfG!
Zwerglein
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