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Hallo an alle!!!
Ich habe eine Aufgabe zum Thema Eigenwertprobleme, bei dem ich nicht mehr weiterkomme. Die Aufgabe bezieht sich auf den Satz von Gerschgorin. Nachdem ich die [mm] \lambda [/mm] für die Matrix A herausbekommen habe [mm] (1\le\lambda\le23), [/mm] sollen nun die betragsmäßig kleinsten und größten [mm] \lambda [/mm] ermittelt werden. Da liegt nun mein Problem. Man kann sich ja die Rayleigh-Beziehung mit zu Rate ziehen:
[mm] \lambda_{min}\le\bruch{}{} \le\lambda_{max} [/mm] ,
aber was ist dabei der Vektor x?
Matrix A: [mm] \pmat{ 6 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 9 & 5 & 1 \\ -3 & 5 & 13 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 20 }
[/mm]
Ich danke euch für die Mithilfe.
MfG
Ramanujan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies muss für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gelten.
Genauer kann man zeigen, dass
[mm] $\lambda_{\max} [/mm] = [mm] \max\limits_{x \in \IR^n, x \ne 0} \frac{\langle x,Ax \rangle}{\langle x,x \rangle}$
[/mm]
und
[mm] $\lambda_{\min} [/mm] = [mm] \min\limits_{x \in \IR^n, x \ne 0} \frac{\langle x,Ax \rangle}{\langle x,x \rangle}$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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