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| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum und F,G [mm]\in[/mm] End([mm]V[/mm]) mit den folgenden charakteristischen Polynomen:
[mm]\chi_{F}(t) = (t^{3} - 4t^{2} + 4t)(t - 1)[/mm] und [mm]\chi_{G}(t) = (t^{2} - 4t + 4)(t^{2} - 1)[/mm].
Kann man daraus etwas über die Eigenwerte von F [mm] \circ [/mm] G ableiten? Welche der Eigenwerte von F bzw. G sind in jedem Fall auch Eigenwerte von F [mm] \circ [/mm] G? |
Also beide Abbildungen haben den Eigenwert 2 mit Vielfachheit 2 und den Eigenwert 1 mit Vielfachheit 1. Dazu hat F noch den Eigenwert 0 mit Vielfachheit 1 und G den Eigenwert -1 mit Vielfachheit 1.
Nun liegt ja der Verdacht nahe, dass F [mm] \circ [/mm] G auch die Eigenwerte 1 und 2 hat. Allerdings komme ich auf keine vernünftige Folgerung dafür.
Ich komme nur auf Gedanken wie diese:
Es gibt ein v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] mit F(v) = v (weil 1 EW von F ist) und
es gibt ein w [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\} [/mm] mit G(w) = w (weil 1 EW von G ist).
Wenn nun v = w wäre, dann wäre natürlich auch 1 ein EW von F [mm] \circ [/mm] G, aber das muss ja nicht gelten. Nur aus der Existenz der einzelnen Eigenvektoren kann ich ja nicht darauf schließen, dass die auch zusammenhängen und damit bin ich wieder am Anfang.
Irgendwie komm ich hier nicht weiter, hat vielleicht jemand einen Denkanstoß für mich?
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> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum und F,G [mm]\in[/mm] End([mm]V[/mm]) mit den
> folgenden charakteristischen Polynomen:
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> [mm]\chi_{F}(t) = (t^{3} - 4t^{2} + 4t)(t - 1)[/mm] und [mm]\chi_{G}(t) = (t^{2} - 4t + 4)(t^{2} - 1)[/mm].
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> Kann man daraus etwas über die Eigenwerte von F [mm]\circ[/mm] G
> ableiten? Welche der Eigenwerte von F bzw. G sind in jedem
> Fall auch Eigenwerte von F [mm]\circ[/mm] G?
> Also beide Abbildungen haben den Eigenwert 2 mit
> Vielfachheit 2 und den Eigenwert 1 mit Vielfachheit 1. Dazu
> hat F noch den Eigenwert 0 mit Vielfachheit 1 und G den
> Eigenwert -1 mit Vielfachheit 1.
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> Nun liegt ja der Verdacht nahe, dass F [mm]\circ[/mm] G auch die
> Eigenwerte 1 und 2 hat. Allerdings komme ich auf keine
> vernünftige Folgerung dafür.
>
> Ich komme nur auf Gedanken wie diese:
>
> Es gibt ein v [mm]\in[/mm] V [mm]\setminus \{0\}[/mm] mit F(v) = v (weil 1 EW
> von F ist) und
> es gibt ein w [mm]\in[/mm] V [mm]\setminus \{0\}[/mm] mit G(w) = w (weil 1
> EW von G ist).
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> Wenn nun v = w wäre, dann wäre natürlich auch 1 ein EW von
> F [mm]\circ[/mm] G, aber das muss ja nicht gelten. Nur aus der
> Existenz der einzelnen Eigenvektoren kann ich ja nicht
> darauf schließen, dass die auch zusammenhängen und damit
> bin ich wieder am Anfang.
>
> Irgendwie komm ich hier nicht weiter, hat vielleicht jemand
> einen Denkanstoß für mich?
Hallo,
mir ist bisher nur klar, daß die Eigenwert 0 auf jeden Fall ein Eigenwert von F [mm] \circ [/mm] G ist.
Es sind ja diag(0,2,2,1) und diag(1,2,2,-1) Matrizen mit den obigen charakteristischen Polynomen.
Ihr Produkt ist diag(0,4,4, -1), und da ist schonmal keiner der von Dir propagierten Eigenwerte dabei.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Danke für den Tipp!
Dass die 0 ein Eigenwert sein muss, konnte ich inzwischen auch nachweisen. Weitere Aussagen kann man meiner Meinung nach nicht treffen, mal sehen ob das mein Tutor genauso sieht. ^^
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