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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:11 Do 06.12.2012 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | [mm] e^{(k)}:=x^{(k)}-x [/mm] bezeichne den Fehlervektor nach der k-ten Iteration des Richardson-Verfahrens, also [mm] x^{(k+1)}=x^{(k)}-\gamma*(Ax^{(k)}-b)
[/mm]
Zeigen Sie, dass die folgende Fehlerabschätzung gilt:
[mm] \parallel e^{(k)} \parallel_{2} \le \partial(I-\gamma*A)^{k}\parallel e^{(k)} \parallel_{2}
[/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] \partial(B) [/mm] den Spektralradius der Matrix B. |
[mm] \parallel e^{(k)} \parallel_{2} [/mm] = [mm] \parallel x-x^{k} \parallel_{2} [/mm] = [mm] \parallel (I-\gamma*A)^{k}*(x-x^{(0)}) \parallel_{2} \le \parallel (I-\gamma*A)^{k} \parallel_{2}*\parallel e^{(0)} \parallel_{2} \le \parallel (I-\gamma*A) \parallel_{2}^{k}*\parallel e^{(0)} \parallel_{2}. [/mm] Zu zeigen bleibt nun, dass [mm] \sqrt{\lambda_{max}(B*B^{T})} \le \lambda_{max}(B) [/mm] mit B = [mm] (I-\gamma*A). [/mm] Ich weiß nun leider nicht, wie ich den letzten Schritt noch zeigen soll.
Kann mir hier jemand helfen? :)
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Do 06.12.2012 | | Autor: | Sin777 |
hat sich erledigt :) ich habe übersehen, dass die matrizen symmetrisch sind.
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