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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 16.07.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und zwei linear unabhängige Eigenvektoren zu dem doppelten Eigenwert der Matrix [mm] A=\pmat{ 3 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3}
[/mm]
b)Begründen Sie, dass A positiv definit ist. |
Hallo Leute, ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] det(A-\lambda*E)=\vmat{ 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & 3-\lambda }
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)*((3-\lambda)^{2}-4)
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)*(\lambda^{2}-6\lambda+5)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1-\lambda=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda^{2}-6\lambda+5=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=5
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=1
[/mm]
So, das wären die Eigenwerte. Nun muss ich zu [mm] \lambda_{1}=\lambda_{3}=1 [/mm] zwei linear unabhängige Eigenvektoren bestimmen.
Das Gleichungssystem heißt ja [mm] (A-\lambda_{1}*E)*x=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 2 | 0\\ 0 & 0 & 0 | 0 \\ 2 & 0 & 2 | 0}
[/mm]
Ich habe hier 3 Gleichungen. Die zweite ist eine Nullzeile, die könnte ich wegstreichen. Die dritte Gleichung ist mit der ersten identisch. Die könnte ich (denke ich mal) eigentlich auch entfernen, die bringt mich nicht weiter.
Somit hätte ich [mm] 2*x_{1}+2*x_{3}=0 [/mm] |*(0,5)
[mm] =x_{1}+x_{3}=0 \Rightarrow x_{1}=-x_{3}
[/mm]
Nun bin ich mir nicht ganz sicher bezüglich der weiteren Vorgehensweise, da ich für kein einziges x einen eindeutigen Zahlenwert habe. Ich weiß somit nicht, wie ich die allgemeine Lösung [mm] x_{a} [/mm] formulieren soll.
Ich kann ja nicht schreiben [mm] x_{a}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\-x_{1} }. [/mm] Was soll ich hier machen?
Bei b weiß ich leider auch nicht was ich antworten soll. Ich kenne die Bedingung für positive Definitheit in diesem Zusammenhang nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Do 16.07.2009 | | Autor: | joern |
Du sollst konkrete Eigenvektoren bestimmen, dann schreib doch einfach
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
(einfach mal was konkretes eingesetzt) und
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}. [/mm]
Du bestimmst hier den Kern einer Matrix, sowas kann man mit dem Gauß-Algorithmus machen.
Desweiteren: Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn sie nur positive Eigenwerte hat :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Do 16.07.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Joern und danke für die Antwort.
Nun, ich gehe davon aus, dass ich zuerst eine allgemeine Lösung brauche, in die ich was einsetzen kann. Zumindest war das immer die Vorgehensweise gewesen.
Ich hatte bei einer anderen Aufgabe die Matrix [mm] \pmat{ 0 & -\bruch{3}{4} & 1 & | 0 \\ 1 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 } [/mm] . Hier sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] Basisvariablen gewesen. Hieran sieht man sofort die allgemeine Lösung [mm] x_{a}=\vektor{0 \\ x_{2} \\ \bruch{3}{4}*x_{2}} [/mm] . Und in diese allgemeine Lösung, die nur noch von der Nichtbasisvariablen abhängt, kann man dann irgendetwas einsetzen (Z.B.) [mm] x_{2}=4 [/mm]
[mm] b_{1}=\vektor{0 \\ 4 \\ 3}.
[/mm]
Bei meiner momentanen Aufgabe würde ich gerne die allgemeine Lösung wissen, wie in dem vom mir beschriebenen Beispiel. Ich kann hier aber scheinbar keine Basisvariablen ermitteln.
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Hallo Owen,
> Hallo Joern und danke für die Antwort.
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> Nun, ich gehe davon aus, dass ich zuerst eine allgemeine
> Lösung brauche, in die ich was einsetzen kann. Zumindest
> war das immer die Vorgehensweise gewesen.
> Ich hatte bei einer anderen Aufgabe die Matrix [mm]\pmat{ 0 & -\bruch{3}{4} & 1 & | 0 \\ 1 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 }[/mm]
> . Hier sind [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] Basisvariablen gewesen. Hieran
> sieht man sofort die allgemeine Lösung [mm]x_{a}=\vektor{0 \\ x_{2} \\ \bruch{3}{4}*x_{2}}[/mm]
> . Und in diese allgemeine Lösung, die nur noch von der
> Nichtbasisvariablen abhängt, kann man dann irgendetwas
> einsetzen (Z.B.) [mm]x_{2}=4[/mm]
> [mm]b_{1}=\vektor{0 \\ 4 \\ 3}.[/mm]
Ja, das kann man.
> Bei meiner momentanen Aufgabe
> würde ich gerne die allgemeine Lösung wissen, wie in dem
> vom mir beschriebenen Beispiel. Ich kann hier aber
> scheinbar keine Basisvariablen ermitteln.
Nun, das Gleichungssystem reduziert sich auf
[mm]\pmat{2 & 0 & 2 & \left|\right & 0}[/mm]
Diese Gleichung teilen wir nun durch 2:
[mm]\pmat{1 & 0 & 1 & \left|\right & 0}[/mm]
Und dann kannst Du eine Basisvariable wählen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 16.07.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Mathepower und danke für die Antwort.
Nun, angenommen ich wähle [mm] x_{1} [/mm] als Basisvariable. Wie sieht die dazugehörige allgemeine Lösung aus? Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich hier eine Basisvariable wähle. Bei dem anderen Beispiel konnte ich Einheitsvektoren erzeugen, was ich hier meiner Meinung nach nicht kann. Es gilt hier [mm] x_{1}=-x_{3}
[/mm]
Vielleicht könnte ich ja [mm] \vektor{-x_{3} \\ ? \\ x_{3}} [/mm] schreiben (oder?). Aber was wähle ich für [mm] x_{2}?
[/mm]
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Hallo Owen,
> Hallo Mathepower und danke für die Antwort.
>
> Nun, angenommen ich wähle [mm]x_{1}[/mm] als Basisvariable. Wie
> sieht die dazugehörige allgemeine Lösung aus? Das Problem
> ist, dass ich nicht weiß, wie ich hier eine Basisvariable
> wähle. Bei dem anderen Beispiel konnte ich
> Einheitsvektoren erzeugen, was ich hier meiner Meinung nach
> nicht kann. Es gilt hier [mm]x_{1}=-x_{3}[/mm]
> Vielleicht könnte ich ja [mm]\vektor{-x_{3} \\ ? \\ x_{3}}[/mm]
> schreiben (oder?). Aber was wähle ich für [mm]x_{2}?[/mm]
Nun die allgemeine Lösung ist
[mm]\vektor{-x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3}}=x_{3}*\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}+x_{2}*\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Für die Eigenvektoren setzt man jetzt
eine Variable 1 und die andere auf 0.
Dann bekommst Du als Eigenvektoren
[mm]\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}, \pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Do 16.07.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, o.k. vielen Dank.
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