Eigenwerte und Eigenvektoren < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Finde Sie für a,b [mm] \in \IR [/mm] die komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix [mm] D=\pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] und berechnen Sie exp(Dt) mittels Diagonalisierung. |
Hallo,
an sich dachte ich das die Aufgabe kein Problem ist und habe angefangen mit dem charekteristischen Polynom [mm] \vmat{ a-\lambda & -b \\ b & a-\lambda } =(a-\lambda)^2+b^2=\lambda^2+a^2-2a\lambda+b^2 [/mm] . Naja, ab da komme ich aber nicht so recht weiter, denn ich sehe nicht wie ich da auf komplexe Eigenwerte kommen soll. Vielleicht hab ich da auch grad nur ein Brett vor dem Kopf. Kann mir jemand bitte helfen?
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Hallo chipbit,
> Finde Sie für a,b [mm]\in \IR[/mm] die komplexen Eigenwerte und
> Eigenvektoren der Matrix [mm]D=\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] und
> berechnen Sie exp(Dt) mittels Diagonalisierung.
> Hallo,
> an sich dachte ich das die Aufgabe kein Problem ist und
> habe angefangen mit dem charekteristischen Polynom [mm]\vmat{ a-\lambda & -b \\ b & a-\lambda } =(a-\lambda)^2+b^2=\lambda^2+a^2-2a\lambda+b^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> . Naja, ab da komme ich aber nicht so recht weiter, denn
> ich sehe nicht wie ich da auf komplexe Eigenwerte kommen
> soll. Vielleicht hab ich da auch grad nur ein Brett vor dem
> Kopf. Kann mir jemand bitte helfen?
Wie löst du denn üblicherweise quadratische Gleichungen? Doch standardmäßig mit der p/q-Formel, oder?
Also $cp(\lambda)=0\gdw \lambda^2-2a\lambda+(a^2+b^2)=0$
$\Rightarrow \lambda_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-(a^2+b^2)}=a\pm\sqrt{-b^2}=a\pm i\cdot{}b}$
Damit dann weiter im Text
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
Oha, daran hatte ich zwar kurz gedacht, aber mich hatte das [mm] a^2+b^2 [/mm] irgendwie verwirrt, schön doof. 
okay, dann haben wir ja schonmal [mm] \lambda_1=a+ib [/mm] und [mm] \lambda_2=a-ib.
[/mm]
Die Eigenvektoren ergeben sich ja dann daraus, das man die Eigenwerte in die "Lambdaform" einsetzt.
also, für [mm] \lambda_1 [/mm] sähe das ja so aus:
I: (a-a+ib)x -by =0
II: bx+ (a-a+ib)y =0 oder? aber das verwirrt mich auch wieder. Analog sähe das für [mm] \lambda_2 [/mm] aus.
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Hallo nochmal,
> Oha, daran hatte ich zwar kurz gedacht, aber mich hatte das
> [mm]a^2+b^2[/mm] irgendwie verwirrt, schön doof.
> okay, dann haben wir ja schonmal [mm]\lambda_1=a+ib[/mm] und
> [mm]\lambda_2=a-ib.[/mm]
>
> Die Eigenvektoren ergeben sich ja dann daraus, das man die
> Eigenwerte in die "Lambdaform" einsetzt.
> also, für [mm]\lambda_1[/mm] sähe das ja so aus:
> I: [mm] (a-\red{(}a+ib\red{)})x [/mm] -by =0
> II: bx+ [mm] (a-\red{(}a+ib\red{)})y [/mm] =0 oder?
Jein, du meinst es richtig, es ist aber unsauber aufgeschrieben, weil du lebenswichtige Klammern unterschlagen hast - ich habe sie in rot eingefügt
Nun kannst du es vereinfachen zu:
[mm] $\vmat{\mbox{I:}&-&ib\cdot{}x&-&b\cdot{}y&=&0\\\mbox{II:}&&b\cdot{}x&-&ib\cdot{}y&=&0}$
[/mm]
Das musst du lösen, fange damit an, die erste Gleichung zum $i-$fachen der zweiten Gleichung zu addieren...
Die Lösungsmenge ist dann der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=a+ib$, [/mm] ein Vektor [mm] $v_{\lambda}\neq [/mm] 0$ daraus dann ein Eigenvektor
> aber das verwirrt mich auch
> wieder. Analog sähe das für [mm]\lambda_2[/mm] aus.
Ja!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
mh, also wenn ich das mache, dann komme ich aber auf eine Nullzeile, normalerweise kann man doch dann den Vektor beliebig wählen, da ja der Eigenvektor [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] nicht existiert. Geht das hier auch, ja? Könnte ich dann einfach [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] wählen oder muss das auch komplex sein?
Bei [mm] \lambda_2 [/mm] erreiche ich das gleiche wenn ich dann die zweite Gleichung zu einem i-fachen der ersten addiere. Wenn ich dann beide Eigenvektoren habe brauch ich ja nur noch den Betrag des einen bilden und die Vektoren mit dem Kehrwert des Betrages multiplizieren um den Eigenraum zu erhalten.
Tut mir Leid, dass ich das so schrittweise machen muss, aber das hilft mir beim Verstehen :)
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Hallo nochmal,
> mh, also wenn ich das mache, dann komme ich aber auf eine
> Nullzeile
Das muss ja auch so sein, der Eigenraum muss ja mind. 1-dimensional sein
> , normalerweise kann man doch dann den Vektor
> beliebig wählen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Du kannst eine Variable mit nem frei wählbaren Parameter belegen, sagen wir $y=t$ mit [mm] $t\in\IC$
[/mm]
> , da ja der Eigenvektor [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> nicht existiert. Geht das hier auch, ja? Könnte ich dann
> einfach [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] wählen oder muss das auch komplex
> sein?
Das musst du berechnen, mit $y=t$ [mm] ($t\in\IC$) [/mm] und der Nullzeile bleibt die erste Gleichung
$-ibx-by=0$
Also [mm] $-ibx-bt=0\Rightarrow [/mm] -ibx=bt \ [mm] \mid [/mm] :(-ib)$
[mm] $\Rightarrow x=\frac{t}{-i}=\frac{it}{i(-i)}=it$
[/mm]
Also sieht ein Lösungsvektor [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] so aus [mm] $\vektor{x\\y}=\vektor{it\\t}=t\cdot{}\vektor{i\\1}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vektor{i\\1}$ [/mm] ist also eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda=a+bi$, [/mm] es ist also der Eigenraum der Spann dieses Vektors, also [mm] $\langle\vektor{i\\1}\rangle$
[/mm]
Nimm einen Vektor [mm] \neq [/mm] 0 daraus als Eigenvektor, zB direkt den Vektor [mm] $v_{\lambda}=\vektor{i\\1}$
[/mm]
> Bei [mm]\lambda_2[/mm] erreiche ich das gleiche wenn ich dann die
> zweite Gleichung zu einem i-fachen der ersten addiere. Wenn
> ich dann beide Eigenvektoren habe brauch ich ja nur noch
> den Betrag des einen bilden und die Vektoren mit dem
> Kehrwert des Betrages multiplizieren um den Eigenraum zu
> erhalten.
Nee, nee, schaue dir noch mal an wie das mit dem Diagonalisieren geht,
Du stopfst die Eigenvektoren zu den Eigenwerten in die transformierende Matrix T
Es gilt dann [mm] $Diag=T^{-1}\cdot{}D\cdot{}T$, [/mm] wobei $Diag$ eine Diagonalmatrix ist, die auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte von $D$ stehen hat.
>
> Tut mir Leid, dass ich das so schrittweise machen muss,
> aber das hilft mir beim Verstehen :)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:09 Mo 26.05.2008 | | Autor: | chipbit |
Ja, sorry, du hast ja recht, war ja gar nicht nach dem Eigenraum gefragt sondern nach exp(Dt)...war da grad nicht ganz bei der Sache. Okay, dann setze ich mich da mal dran :)
Kann ich dich zu der Exponentialfunktion gerade mal noch etwas anderes fragen?
Kennst du Pauli-Matrizen, also zum Beispiel [mm] \sigma_1=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] ? Für die sollte ich in einer Aufgabe vorher schonmal [mm] exp(i\sigma_1 [/mm] t) berechnen und zwar direkt aus der Definiton der Exponentilafunktion. jetzt habe ich einmal gefunden [mm] exp(i*\sigma_k*t)=S*exp(D)*S^{-1} [/mm] und einmal eine Definiton mit Reihen wo dann am Ende [mm] \pmat{ cost & isint \\ isint & cost } [/mm] bei mir rauskommt. Jetzt weiß ich nicht welches ich eher benutzen sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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