Eigenwerte über \IC < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
welche einen Endomophismus f: [mm] K^2 \to K^2 [/mm] zur Standardbasis beschreibt.
i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A für den Fall K = [mm] \IC [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Matrix A. Meines Verständnisses nach ist es egal ob diese über dem Körper [mm] \IC [/mm] ist oder nicht. Der Eigenwert dürfte davon unabhängig sein. Handelt sich ja nur um einen Wert der die Streckung oder Stauchung eines Eigenvektors angibt der im Urbild der selbe ist wie in der Abbildung.
Ich bin mal so vorgegangen:
Gesucht: Charakteristisches Polynom (Eigenwerte sind dabei die Nullstellen des CPs)
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IR_{A} (\lambda) [/mm] = [mm] det(\lambda [/mm] * [mm] E_{3} [/mm] - A) = det [mm] \vmat{ (\lambda - 1) & 1 \\ -1 & (\lambda -1) } [/mm] = [mm] [(\lambda [/mm] - [mm] 1)(\lambda [/mm] -1) - (1(-1))] = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 2*\lambda [/mm] + 2 = 0
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{2\pm \wurzel{4-8}}{2} [/mm] Jetzt ist dummerweise die Det < 0!! Und damit gäbe es keine Nullstellen. Das kann ürgendwie nicht sein.
Wo liegt denn da der Fehler?
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Sorry....
ich wollte noch schreiben:
Viele Grüße
Semi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 22.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> welche einen Endomophismus f: [mm]K^2 \to K^2[/mm] zur Standardbasis
> beschreibt.
> i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A für
> den Fall K = [mm]\IC[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe hier eine Matrix A. Meines Verständnisses nach
> ist es egal ob diese über dem Körper [mm]\IC[/mm] ist oder nicht.
> Der Eigenwert dürfte davon unabhängig sein. Handelt sich
> ja nur um einen Wert der die Streckung oder Stauchung eines
> Eigenvektors angibt der im Urbild der selbe ist wie in der
> Abbildung.
>
> Ich bin mal so vorgegangen:
> Gesucht: Charakteristisches Polynom (Eigenwerte sind dabei
> die Nullstellen des CPs)
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] ; [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IR_{A} (\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] * [mm]E_{3}[/mm] - A) =
> det [mm]\vmat{ (\lambda - 1) & 1 \\ -1 & (\lambda -1) }[/mm] =
> [mm][(\lambda[/mm] - [mm]1)(\lambda[/mm] -1) - (1(-1))] = [mm](\lambda[/mm] - [mm]1)^2[/mm] + 1
> = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]2*\lambda[/mm] + 2 = 0
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{2\pm \wurzel{4-8}}{2}[/mm] Jetzt ist
> dummerweise die Det < 0!! Und damit gäbe es keine
> Nullstellen. Das kann ürgendwie nicht sein.
> Wo liegt denn da der Fehler?
Hier: Du sagtest:
"Meines Verständnisses nach ist es egal ob diese über dem Körper $ [mm] \IC [/mm] $ ist oder nicht"
Das ist ein Irrtum ! Ist K= [mm] \IR, [/mm] so hat die Matrix keine (reellen) Eigenwerte. Iat aber K = [mm] \IC, [/mm] so hat A Eigenwerte
FRED
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Hi Fred,
deine Aussage kommt mir sehr bekannt vor.....Ich kenne auch die Aussage, dass jedes Charakteristische Polynom über [mm] \IC [/mm] zerfällt.
D.h. also ich setze schon mal komplett falsch an, oder? Ich habe es auch mal so probiert, dass ich
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda(a+bi) & 0 \\ 0 & \lambda(a+bi) } [/mm]
genommen habe. Mit [mm] \IC_{A} (\lambda) [/mm] = [mm] det(\lambda [/mm] * E - A) = det [mm] \pmat{ \lambda(a+bi) -1 & 1 \\ -1 & \lambda(a+bi) -1}
[/mm]
....totales Fiasko... würdest du mir bitte einen Ansatz schicken? Ich habe das Gefühl ich verstehe die Sache mit dem Eigenwert nicht mehr. Meine Beschreibung über Streckung und Stauchung von Eigenvektoren diesbezüglich ist doch korrekt, nicht?
Viele Grüße
Semi
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Hi,
> Ich habe es auch mal so probiert, dass ich
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] ; [mm]\lambda[/mm] * [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda(a+bi) & 0 \\ 0 & \lambda(a+bi) }[/mm]
>
>
> genommen habe. Mit [mm]\IC_{A} (\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] * E -
> A) = det [mm]\pmat{ \lambda(a+bi) -1 & 1 \\ -1 & \lambda(a+bi) -1}[/mm]
Der Ansatz funktioniert nicht.
>
> ....totales Fiasko... würdest du mir bitte einen Ansatz
> schicken?
Du warst eigentlich schon nah dran:
> $ [mm] \IR_{A} (\lambda) [/mm] $ = $ [mm] det(\lambda [/mm] $ * $ [mm] E_{3} [/mm] $ - A) = det $ [mm] \vmat{ (\lambda - 1) & 1 \\ -1 & (\lambda -1) } [/mm] $ = $ [mm] [(\lambda [/mm] $ - $ [mm] 1)(\lambda [/mm] $ -1) - (1(-1))] = $ [mm] (\lambda [/mm] $ - $ [mm] 1)^2 [/mm] $ + 1 = $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}\lambda [/mm] $ + 2 = 0
> $ [mm] \lambda_{1/2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2\pm \wurzel{4-8}}{2} [/mm] $
Hier kannst du jetzt die komplexen Nullstellen berechnen, denn dann ist [mm] \sqrt{-4}=i\sqrt{4}=2i
[/mm]
> Ich habe das Gefühl ich verstehe die Sache mit
> dem Eigenwert nicht mehr. Meine Beschreibung über
> Streckung und Stauchung von Eigenvektoren diesbezüglich
> ist doch korrekt, nicht?
Ergibt Sinn als geometrische Vorstellung.
>
> Viele Grüße
> Semi
Gruß
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> Du warst eigentlich schon nah dran:
> > [mm]\IR_{A} (\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] * [mm]E_{3}[/mm] - A) = det
> [mm]\vmat{ (\lambda - 1) & 1 \\ -1 & (\lambda -1) }[/mm] =
> [mm][(\lambda[/mm] - [mm]1)(\lambda[/mm] -1) - (1(-1))] = [mm](\lambda[/mm] - [mm]1)^2[/mm] + 1
> = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]2\cdot{}\lambda[/mm] + 2 = 0
> > [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{2\pm \wurzel{4-8}}{2}[/mm]
> Hier
> kannst du jetzt die komplexen Nullstellen berechnen, denn
> dann ist [mm]\sqrt{-4}=i\sqrt{4}=2i[/mm]
Ok. Wenn ich nun also die Gauß´sche Zahlenebene zugrundelege dann besteht z [mm] \in \IC [/mm] immer aus dem Realteil a und dem immaginärteil b. Wenn ich nun noch sage, dass mein Eigenwert ein Skalar ist, dann ist der Eigenwert eine einfache Zahl.
Wenn ich dich auch richtig verstanden habe, dann rechne ich so:
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pm \wurzel{-4}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pm \wurzel{4 * i^{2}}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pm i *2}{2} \Rightarrow \IL [/mm] = {1+i, 1-i}
Das sind dann aber Vektoren. Muss ich dann noch [mm] |z_{1}| [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+ i^{2}} [/mm] bzw [mm] |z_{2}| [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+ (-i)^{2}} [/mm] berechnen?
Dann wären die Eigenwerte [mm] \lambda_{1/2} [/mm] = 0 und das wäre nicht gut.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 22.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du warst eigentlich schon nah dran:
> > > [mm]\IR_{A} (\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] * [mm]E_{3}[/mm] - A) = det
> > [mm]\vmat{ (\lambda - 1) & 1 \\ -1 & (\lambda -1) }[/mm] =
> > [mm][(\lambda[/mm] - [mm]1)(\lambda[/mm] -1) - (1(-1))] = [mm](\lambda[/mm] - [mm]1)^2[/mm] + 1
> > = [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]2\cdot{}\lambda[/mm] + 2 = 0
> > > [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{2\pm \wurzel{4-8}}{2}[/mm]
> > Hier
> > kannst du jetzt die komplexen Nullstellen berechnen, denn
> > dann ist [mm]\sqrt{-4}=i\sqrt{4}=2i[/mm]
>
> Ok. Wenn ich nun also die Gauß´sche Zahlenebene
> zugrundelege dann besteht z [mm]\in \IC[/mm] immer aus dem Realteil
> a und dem immaginärteil b. Wenn ich nun noch sage, dass
> mein Eigenwert ein Skalar ist, dann ist der Eigenwert eine
> einfache Zahl.
> Wenn ich dich auch richtig verstanden habe, dann rechne ich
> so:
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{2 \pm \wurzel{-4}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{2 \pm \wurzel{4 * i^{2}}}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2 \pm i *2}{2} \Rightarrow \IL[/mm] = {1+i, 1-i}
Stimmt
> Das sind dann aber Vektoren.
Quatsch. 1+i und 1-i sind komplexe Zahlen und zwar die Eigenwerte Deiner Matrix.
> Muss ich dann noch [mm]|z_{1}|[/mm] =
> [mm]\wurzel{1^{2}+ i^{2}}[/mm] bzw [mm]|z_{2}|[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+ (-i)^{2}}[/mm]
> berechnen?
Quatsch ! [mm] |z_{1}| [/mm] ist der Betrag von 1+i. Den brauchst Du nicht. Du hast ihn übrigends falsch berechnet !
[mm] |z_{1}|= \wurzel{2}
[/mm]
> Dann wären die Eigenwerte [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 und das wäre
> nicht gut.
.... in der Tat ..
FRED
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> Quatsch ! [mm]|z_{1}|[/mm] ist der Betrag von 1+i. Den brauchst Du
> nicht. Du hast ihn übrigends falsch berechnet !
>
> [mm]|z_{1}|= \wurzel{2}[/mm]
> > Dann wären die Eigenwerte
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 und das wäre
> > nicht gut.
>
> .... in der Tat ..
>
> FRED
>
Ups, ich hab i mit reingerechnet...
Ich muss beim Eigenwertproblem also die komplexen Zahlen als Paar sehen, ok, ich hatte sie als Vektoren mit Polarkoordinaten im Kopf.
Vielen Dank
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Ich möchte mich an dieser Stelle mal recht herzlich für die bisherigen Hilfestellungen bedanken.
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