Eigenwerte mit Störung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei $A$ eine Matrix mit Eigenwerten mit negativen Realteilen. Betrachte die gestörte Matrix $A+O(e)$. Zeige, für kleine $e [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] hat die gestörte Matrix auch nur negative Realteile. |
Hallo zusammen,
obrige Aufgaben bzw. Frage ergibt sich im Rahmen meiner Diplomarbeit über Dynamische Systeme. Ich habe eine Taylorentwicklung nach einem Parameter e (reelle Zahl), die nach Umformungen folgende Form ergibt
$Id+ [mm] \epsilon\cdot (D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)+O(\epsilon))$
[/mm]
Die Beträge der Eigenwerte dieses Terms müssen kleiner 1 sein, also müssen die Eigenwerte [mm] $D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)+O(\epsilon)$ [/mm] negative Realteile haben. Ich hoffe, dass negative Realteile von den Eigenwerten von [mm] $D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)$ [/mm] ausreichen, solange e nicht zu groß wird, konnte aber bisher keinen Beweis dazu finden.
Leider kenne ich mich in dieser Thematik nicht so genau aus. Zu dem Themenbereich habe ich bisher nur in Büchern der Numerik etwas gefunden, das mir aber bisher nicht weitergeholfen hat. Jede Lösung, Lösungshinweis oder Verweis, wo ich nachschauen könnte ist willkommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]A[/mm] eine Matrix mit Eigenwerten mit negativen
> Realteilen. Betrachte die gestörte Matrix [mm]A+O(e)[/mm]. Zeige,
> für kleine [mm]e \in \mathbb{R}[/mm] hat die gestörte Matrix auch
> nur negative Realteile.
>
> Hallo zusammen,
>
> obrige Aufgaben bzw. Frage ergibt sich im Rahmen meiner
> Diplomarbeit über Dynamische Systeme. Ich habe eine
> Taylorentwicklung nach einem Parameter e (reelle Zahl), die
> nach Umformungen folgende Form ergibt
> [mm]Id+ \epsilon\cdot (D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)+O(\epsilon))[/mm]
>
> Die Beträge der Eigenwerte dieses Terms müssen kleiner 1
> sein, also müssen die Eigenwerte [mm]D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)+O(\epsilon)[/mm]
> negative Realteile haben. Ich hoffe, dass negative
> Realteile von den Eigenwerten von [mm]D_\epsilon D_x P(\xi_0,0)[/mm]
> ausreichen, solange e nicht zu groß wird, konnte aber
> bisher keinen Beweis dazu finden.
>
> Leider kenne ich mich in dieser Thematik nicht so genau
> aus. Zu dem Themenbereich habe ich bisher nur in Büchern
> der Numerik etwas gefunden, das mir aber bisher nicht
> weitergeholfen hat. Jede Lösung, Lösungshinweis oder
> Verweis, wo ich nachschauen könnte ist willkommen.
Warum haben dir die Lehrbücher der Numerik nicht weitergeholfen?
Stichwort: Satz von Bauer-Fike.
Viele Grüße
Rainer
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Oh, jetzt wo du mich darauf hinweist, sehe ich, dass er mir tatsächlich weiterhelfen würde. Ich glaube, ich habe die Aussage des Satzes nur nicht sorgfältig genug gelesen.
Aber: Der Satz von Bauer-Fike setzt eine diagonalisierbare Matrix voraus. Im Allgemeinen wird mein A aber nicht diagonalisierbar sein.
Nachtrag:
Für folgende nicht diagonalisierbare Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }
[/mm]
und folgende gestörte Matrix
[mm] \pmat{ 1 & e \\ 1 & 1 }
[/mm]
hat man eine Differenz von den Eigenwerten von [mm] $\Delta \lambda [/mm] = [mm] \sqrt{e}$.
[/mm]
Das wäre für die Aufgabenstellung aber auch kein Problem, da die Differenz immer noch eine stetige Funktion ist, wenn auch nicht in 0 differenzierbar. Ich bräuchte also ein allgemeineres Resultat für Matrizen, die mir die stetige Abhängigkeit von Störungen gibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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