Eigenwerte lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 10.06.2012 | | Autor: | eXis |
| Aufgabe | Finden Sie die Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren der folgenden linearen Abbildung:
[mm] L:\IR^{\IN} \rightarrow \IR^{\IN}, (a_{1},a_{2},a_{3},...) \mapsto (a_{2},a_{3},...) [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich weiß, wie ich Eigenwerte von Matrizen berechne, aber ich hab leider keine Ahnung wie das bei linearen Abbildungen gehen soll. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß eXis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Jede lineare Abbildung kann durch eine Abbildungsmatrix dargestellt werden. Daher stelle zunächst die zur Abbildung zugehörige Abbildungsmatrix auf, so dass gilt:
[mm] $\phi(x)=Ax$, [/mm] mit A als Abb.-Matrix.
Von dieser kannst du dann problemlos die Eigenwerte und -vektoren bestimmen.
Falls du nicht wissen solltest, wie das geht: Die Abbildungsmatrix enthält als Spalten die Bilder der Basisvektoren. Also überlege dir, was mit den Basisvektoren passiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 10.06.2012 | | Autor: | eXis |
> Jede lineare Abbildung kann durch eine Abbildungsmatrix
> dargestellt werden. Daher stelle zunächst die zur
> Abbildung zugehörige Abbildungsmatrix auf, so dass gilt:
>
> [mm]\phi(x)=Ax[/mm], mit A als Abb.-Matrix.
>
> Von dieser kannst du dann problemlos die Eigenwerte und
> -vektoren bestimmen.
>
> Falls du nicht wissen solltest, wie das geht: Die
> Abbildungsmatrix enthält als Spalten die Bilder der
> Basisvektoren. Also überlege dir, was mit den
> Basisvektoren passiert.
Danke für die schnelle Antwort, aber ich habe wirklich gar keine Ahnung von Abbildungsmatrizen und bräuchte da bitte ein paar Schritt-für-Schritt-Anweisungen...
Gruß eXis
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Hallo eXis,
> > Jede lineare Abbildung kann durch eine Abbildungsmatrix
> > dargestellt werden. Daher stelle zunächst die zur
> > Abbildung zugehörige Abbildungsmatrix auf, so dass gilt:
> >
> > [mm]\phi(x)=Ax[/mm], mit A als Abb.-Matrix.
> >
> > Von dieser kannst du dann problemlos die Eigenwerte und
> > -vektoren bestimmen.
> >
> > Falls du nicht wissen solltest, wie das geht: Die
> > Abbildungsmatrix enthält als Spalten die Bilder der
> > Basisvektoren. Also überlege dir, was mit den
> > Basisvektoren passiert.
>
> Danke für die schnelle Antwort, aber ich habe wirklich gar
> keine Ahnung von Abbildungsmatrizen und bräuchte da bitte
> ein paar Schritt-für-Schritt-Anweisungen...
Das ist nicht dein Ernst?!
Das ist elementarster LA1-Stoff, darüber wird 1 Monat VL gehalten.
Wir können hier doch hier keine VL nachholen.
Das Prozedere:
Du hast eine Basis [mm]B[/mm] des Urbildraumes und eine Basis [mm]C[/mm] des Bildraumes.
Bilde die Basisvektoren aus [mm]B[/mm] unter der lin. Abbildung ab und stelle die erhaltenen Bilder als LK der Basisvektoren des Bildraumes dar.
Die Koordinaten dieser LKen stopfst du als Spaltenvektoren in die Abbildungsmatrix.
Dieses Verfahren auf den i-ten Basisvektor aus [mm]B[/mm] angewandt, liefert die i-te Spalte der Abbildungsmatrix.
Wenn du für [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] die Standardbasis (-en) nimmst, ist es besonders einfach - siehe die andere Antwort bzw. LA1-Skript
>
> Gruß eXis
>
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:07 So 10.06.2012 | | Autor: | eXis |
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> Bilde die Basisvektoren aus [mm]B[/mm] unter der lin. Abbildung ab
> und stelle die erhaltenen Bilder als LK der Basisvektoren
> des Bildraumes dar.
>
> Die Koordinaten dieser LKen stopfst du als Spaltenvektoren
> in die Abbildungsmatrix.
>
Sorry aber ich kriegs einfach ned hin. Kannst du mir des mal bitte an einem Basisvektor vormachen?
Gruß eXis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Bilde die Basisvektoren aus [mm]B[/mm] unter der lin. Abbildung ab
> > und stelle die erhaltenen Bilder als LK der Basisvektoren
> > des Bildraumes dar.
> >
> > Die Koordinaten dieser LKen stopfst du als Spaltenvektoren
> > in die Abbildungsmatrix.
> >
>
> Sorry aber ich kriegs einfach ned hin. Kannst du mir des
> mal bitte an einem Basisvektor vormachen?
kannst Du denn mal eine Basis des [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] angeben? Eine solche hat (abzählbar) unendlich viele Basisvektoren...
Okay, weil das so einfach ist, nenne ich Dir mal eine:
Für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] setze [mm] $f_m: \IN \to \IR$ [/mm] fest durch [mm] $f_m(n):=\delta_{n,m}$ [/mm] (Delta-Kronecker!).
Dann bildet die Menge
[mm] $$\{f_m:\;\; m \in \IN\}=\stackrel{\text{d}}{\bigcup_{m \in \IN}}\{f_m\}$$
[/mm]
eine nichtgeordneteBasis des [mm] $\IR^{\IN}=\{g: \IN \to \IR:\;\;g\text{ ist Abbildung}\}\,.$
[/mm]
Oder:
Du stellst Dir ein Element aus [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] als ein [mm] $\infty$-Tupel [/mm] (mit abzählbar vielen Komponenten) vor (oder identifizierst eine jede Abbildung [mm] $\IN \to \IR\,,$ [/mm] also eine reellwertige (unendliche) Folge, mit solch' einem).
Dann bildet die Familie
[mm] $$\left(\Big(e^{(j)}_i\Big)_{i=1}^\infty\right)_{j=1}^\infty$$
[/mm]
mit
[mm] $$e^{(j)}_i:=\delta_{i,j} \text{ für alle }i \in \IN\,, \text{ wenn }j \in \IN \text{ beliebig, aber fest ist}$$
[/mm]
eine geordnete Basis des [mm] $\IR^{\IN}\,.$
[/mm]
Die Analogie für endlichdimensionale Vektorräume kennst Du. (Man hat sowas wie [mm] $\IR^n \cong \IR^{\{1,...,n\}}\,.$)
[/mm]
P.S.
[mm] $\Big(e^{(1)}_i\Big)_{i=1}^\infty=(1,0,0,0,\ldots)$
[/mm]
[mm] $\Big(e^{(2)}_i\Big)_{i=1}^\infty=(0,1,0,0,\ldots)$
[/mm]
[mm] $\Big(e^{(3)}_i\Big)_{i=1}^\infty=(0,0,1,0,\ldots)$
[/mm]
[mm] $\Big(e^{(4)}_i\Big)_{i=1}^\infty=(0,0,0,1,\ldots)$
[/mm]
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[mm] $\Big(e^{(k)}_i\Big)_{i=1}^\infty=(0,0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ [/mm] mit der 1 genau an der k-ten Stelle
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Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 10.06.2012 | | Autor: | eXis |
Also mit der Gefahr mich endgültig zu blamieren (wenn das überhaupt noch möglich ist) wage ich mal einen Versuch für die Abbildungsmatrix:
[mm]M=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\}[/mm]
Gruß eXis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also mit der Gefahr mich endgültig zu blamieren (wenn das
> überhaupt noch möglich ist) wage ich mal einen Versuch
> für die Abbildungsmatrix:
>
> [mm]M=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\}[/mm]
ne, Blamagen gibt's nicht. Teste doch, ob die Abbildung das tut, was sie tun soll:
Der Einfachheit halber schreibe ich mal (na, aus welchem Grund wohl?) [mm] $I_{\IN}$ [/mm] für die Einheitsmatrix mit (abzählbar) unendlich vielen Spalten und Zeilen:
[mm] $$M*I_{\IN}=M\,.$$
[/mm]
Und? Passt doch!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mo 11.06.2012 | | Autor: | eXis |
Ok, vielen vielen Dank für eure Hilfe und eure Geduld mit mir, jetzt hab ich das endlich mal verstanden!
Gruß eXis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Man braucht doch keine Abbildungsmatrix !
Die Gleichung [mm] L(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)=\lambda (a_1,a_2,...)
[/mm]
führt auf die Gleichungen
[mm] a_{n+1}= \lambda a_n [/mm] (n=1,2,3,...),
also
[mm] a_{n+1}= \lambda^n a_1 [/mm] (n=1,2,3,...)
Dh.: jedes [mm] \lambda \in \IR [/mm] ist Eigenwert von L und (1, [mm] \lambda, \lambda^2,....) [/mm] ist ein Eigenvektor zu [mm] \lambda.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Man braucht doch keine Abbildungsmatrix !
brauchen tut man sie nicht. Aber sie wurde ins Spiel gebracht, also fand' ich es nicht verkehrt, weiter damit zu arbeiten!
> Die Gleichung [mm]L(a_1,a_2,...)=(a_2,a_3,...)=\lambda (a_1,a_2,...)[/mm]
>
> führt auf die Gleichungen
>
> [mm]a_{n+1}= \lambda a_n[/mm] (n=1,2,3,...),
>
> also
>
> [mm]a_{n+1}= \lambda^n a_1[/mm] (n=1,2,3,...)
>
> Dh.: jedes [mm]\lambda \in \IR[/mm] ist Eigenwert von L und (1,
> [mm]\lambda, \lambda^2,....)[/mm] ist ein Eigenvektor zu [mm]\lambda.[/mm]
>
> FRED
Mit der Abbildungsmatrix hätte man dann das Gleichungssystem
[mm] $$M*\sum_{k=1}^\infty a_k e^{(k)}=\lambda*\sum_{k=1}^\infty a_k e^{(k)}\,,$$
[/mm]
mit [mm] $M\,$ [/mm] wie oben, also
[mm] $$M=\pmat{0&1&0&0&0&\ldots\\0&0&1&0&0&\ldots\\\hdots&\hdots&\hdots&\hdots&\hdots&\hdots}\,,$$
[/mm]
und damit auch
[mm] $$a_2=\lambda a_1\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_3=\lambda a_2=\lambda^2 a_1\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_4=\lambda a_3=\lambda^3 a_1\,,$$
[/mm]
erhalten. Also das gleiche Ergebnis wie bei Dir.
@eXis: Bedenke bitte auch: Wenn [mm] $(\lambda,x)\,$ [/mm] ein Eigenpaar zu [mm] $M\,$ [/mm] ist, dann ist auch [mm] $(\lambda,r*x)\,$ [/mm] für $r [mm] \not=0$ [/mm] ein Eigenpaar. (Warum?) Nur, falls Du Dich wunderst, warum Fred speziell [mm] $a_1=1\,$ [/mm] gesetzt hat.
Gruß,
Marcel
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