Eigenwerte der inversen Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 24.06.2006 | | Autor: | milka |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] GL(n,K) gegeben mit [mm] A*A^{-1}=E_{n}.
[/mm]
a, Beweisen Sie, dass [mm] \lambda=0 [/mm] kein Eigenwert der Matrix A [mm] \in [/mm] GL(n,K) sein kann.
b, Seien [mm] \lambda_1,..., \lambda_n \in [/mm] K die Eigenwerte von A [mm] \in [/mm] GL(n,K). Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{-1} \in [/mm] GL(n,K) ist. |
Wie sieht die Matrix A aus? Kann mir jemand die Teilaufgaben erklären? Ich brauch doch das charakteristische Polynom um die Eigenwerte auszurechnen, oder?Aber wie mache ich das in diesem Fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 24.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Sei A [mm]\in[/mm] GL(n,K) gegeben mit [mm]A*A^{-1}=E_{n}.[/mm]
Kann es sein, dass hier [mm]A^{-1}*A=E_{n}[/mm] stehen sollte?
Wenn nicht ist es auch egal, denn A wird ja als invertierbar vorrausgesetzt, also gilt : [mm]A^{-1}*A=E_{n}[/mm]
zur a) angenommen es gibt einen Vektor v, der NICHT der Nullvektor ist , so dass : A*v=0 gilt. (also v ist Eigenvektor zum Eigenwert 0)
Was ist dann mit : [mm] $A^{-1}*A*v=E_{n}*v$ [/mm] wenn du mal beide Seiten seperat ausrechnest ?
zur b) was soll hier denn jetzt [mm] $\bruch{1}{\lambda}$ [/mm] sein?
ich denke mal, du meinst : [mm] $\bruch{1}{\lambda_i}$ [/mm] oder?
Also alle Kehrwerte der Eigenwerte von A sind Eigenwerte von [mm] $A^{-1}$
[/mm]
angenommen es gilt : [mm] $A*v=\lambda_i [/mm] *v$
(also v soll Eigenvektor zum i-ten Eigenwert sein)
dann folgt aber aus:
[mm] $A^{-1}*\lambda_i *v=A^{-1}*A*v=E_{n}*v=v$
[/mm]
dass [mm] $A^{-1}*v=\bruch{1}{\lambda_i}*v$
[/mm]
also genau das gesuchte..
EDIT: könntest du bitte das nächstemal darauf achten, dass du solche Fragen ins Uni-LA-Forum postest, nicht ins Schul-LA-Forum ?
viele Grüße
DaMenge
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