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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Trasher |
| Aufgabe | Der skizzierte Schwinger besitzt folgende Bewegungsgleichungen
[mm] \pmat{ -1 & +1 \\ +1 & -(1+2\wurzel{2})}\vektor{x^{..} \\ y^{..}}+\bruch{EA}{ml}\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }\vektor{x \\ y}=\vec{0}
[/mm]
mit den gegebenen Größen m Masse, E Elastizitätsmodul, A Querschnitt der Stäbe, l Länge.
Anm.: Mit [mm] x^{..} [/mm] ist die 2. Ableitung von x nach der Zeit gemeint.
1. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.
2. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
3. Normieren Sie die erste Komponente (x) der Eigenvektoren auf "1".
4. Zeigen Sie, inwieweit hier Orthogonalität gegeben ist. |
Hallo Leute,
ich habe seit 4 Jahren nichts mehr mit DGLs zu tun gehabt und werde nun in einem Modul damit konfrontiert und muss die o.g. Aufgabe lösen. Jetzt habe ich, der nie viel mit DGLs zu tun hatte, in meine einzigen Unterlagen zu DGLs von Lineare Algebra nur Lösungswege für Matrizen EWte und EVs gefunden. Könnt ihr mir etwas helfen, den richtigen Lösungsweg zu finden? Wo gibt es etwas geeignetes zum Nachschlagen, damit Otto-Normal-Ingenieur diese Aufgabe lösen kann.
Bis jetzt habe ich nicht viel mehr gemacht als das die Matrizenschreibweise in ein zwei Gleichungen zu überführen
I [mm] -x^{..}+y^{..}-\bruch{EA}{ml}x=0
[/mm]
II [mm] x^{..}-y^{..}-2\wurzel{2}y^{..}-\bruch{EA}{ml}y=0
[/mm]
Vielen Dank und liebe Grüße
Robert
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Hallo Trasher,
> Der skizzierte Schwinger besitzt folgende
> Bewegungsgleichungen
>
> [mm]\pmat{ -1 & +1 \\ +1 & -(1+2\wurzel{2})}\vektor{x^{..} \\ y^{..}}+\bruch{EA}{ml}\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }\vektor{x \\ y}=\vec{0}[/mm]
>
> mit den gegebenen Größen m Masse, E Elastizitätsmodul, A
> Querschnitt der Stäbe, l Länge.
>
> Anm.: Mit [mm]x^{..}[/mm] ist die 2. Ableitung von x nach der Zeit
> gemeint.
>
> 1. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.
> 2. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
> 3. Normieren Sie die erste Komponente (x) der
> Eigenvektoren auf "1".
> 4. Zeigen Sie, inwieweit hier Orthogonalität gegeben
> ist.
> Hallo Leute,
>
> ich habe seit 4 Jahren nichts mehr mit DGLs zu tun gehabt
> und werde nun in einem Modul damit konfrontiert und muss
> die o.g. Aufgabe lösen. Jetzt habe ich, der nie viel mit
> DGLs zu tun hatte, in meine einzigen Unterlagen zu DGLs von
> Lineare Algebra nur Lösungswege für Matrizen EWte und EVs
> gefunden. Könnt ihr mir etwas helfen, den richtigen
> Lösungsweg zu finden? Wo gibt es etwas geeignetes zum
> Nachschlagen, damit Otto-Normal-Ingenieur diese Aufgabe
> lösen kann.
>
> Bis jetzt habe ich nicht viel mehr gemacht als das die
> Matrizenschreibweise in ein zwei Gleichungen zu
> überführen
>
> I [mm]-x^{..}+y^{..}-\bruch{EA}{ml}x=0[/mm]
>
> II [mm]x^{..}-y^{..}-2\wurzel{2}y^{..}-\bruch{EA}{ml}y=0[/mm]
>
Entkoppel zunächst dieses System so,
daß Du da stehen hast:
[mm]\pmat{\ddot{x} \\ \ddot{y}}=\pmat{f(x,y) \\ g(x,y)}[/mm]
Dann kannst Du das erhaltene System via Substitution
auf ein System von DGLn 1. Ordnung zurückführen.
> Vielen Dank und liebe Grüße
>
> Robert
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:33 So 09.11.2014 | | Autor: | Trasher |
Hallo MathePower,
vielen Dank für den Tipp. Ich habe also daran gearbeitet, das Gleichungssystem wie angegeben zu entkoppeln:
I $ [mm] -\ddot{x}+\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} [/mm] x=0 $
II $ [mm] \ddot{x}-\ddot{y}-2\wurzel{2} \ddot{y}-\bruch{EA}{ml} [/mm] y=0 $
I [mm] $\ddot{x}=\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} [/mm] x $
I in II $ [mm] \ddot{y}-\bruch{EA}{ml} x+(-1-2\wurzel{2})\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} [/mm] y=0$
Damit ergibt sich
II [mm] $\ddot{y}=-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}(x+y)=g(x,y)$
[/mm]
und entsprechend
I [mm] $\ddot{x}=-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}(x+y)-\bruch{EA}{ml} [/mm] x=f(x,y)$
Ist das soweit korrekt?
Ich habe dann ein Gleichungssystem
[mm] \vektor{\ddot{x} \\ \ddot{y}}=\pmat{ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} \\ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} }\vektor{x \\ y}
[/mm]
Ich habe dann den Exponentialansatz gemacht á la
[mm] det(\lambda [/mm] I-A)=0
Also
[mm] det(\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }-\pmat{ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} \\ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} })=0
[/mm]
Ich habe dann zur Ersparnis von Schreibarbeit gesagt [mm] \alpha =-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml} [/mm] und [mm] \beta [/mm] = [mm] -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} [/mm] .
Ich habe dann für die Determinante raus:
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] \alpha)(\lambda [/mm] - [mm] \beta)- \beta^2=0
[/mm]
Mit der p/q Formel ergibt sich mir dann:
[mm] \lambda_{1/2}=\bruch{\alpha+\beta}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-\alpha-\beta}{2})^2-\alpha\beta+\beta^2}
[/mm]
Wenn ich das dann resubstituiere erhalte ich nach stundenlangem Rumgerechne um 3 Uhr morgens
[mm] \lambda_{1/2}=\bruch{EA(-1-\wurzel{2})}{ml2\wurzel{2}}\pm\wurzel{\bruch{E^2A^2(1+\wurzel{2})}{m^2 l^2 4}}
[/mm]
Wenn ich ehrlich bin, dann glaube ich selber nicht an diese Lösung. Ich soll zu diesen Eigenwerten ja noch die passenden Eigenvektoren bestimmen und diese normieren und auf Orthogonalität prüfen.
Habe ich in meiner Lösungsstrategie einen Fehler oder liegt es am falschen Rechnen?
Viele Grüße und vielen lieben Dank für die Hilfe
Robert
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Hallo Trasher,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für den Tipp. Ich habe also daran gearbeitet,
> das Gleichungssystem wie angegeben zu entkoppeln:
>
> I [mm]-\ddot{x}+\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} x=0[/mm]
> II
> [mm]\ddot{x}-\ddot{y}-2\wurzel{2} \ddot{y}-\bruch{EA}{ml} y=0[/mm]
>
> I [mm]\ddot{x}=\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} x[/mm]
>
> I in II [mm]\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} x+(-1-2\wurzel{2})\ddot{y}-\bruch{EA}{ml} y=0[/mm]
>
> Damit ergibt sich
>
> II [mm]\ddot{y}=-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}(x+y)=g(x,y)[/mm]
>
> und entsprechend
>
> I [mm]\ddot{x}=-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}(x+y)-\bruch{EA}{ml} x=f(x,y)[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
>
> Ich habe dann ein Gleichungssystem
>
> [mm]\vektor{\ddot{x} \\ \ddot{y}}=\pmat{ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} \\ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} }\vektor{x \\ y}[/mm]
>
Bis hierhin ist das ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe dann den Exponentialansatz gemacht á la
>
> [mm]det(\lambda[/mm] I-A)=0
>
> Also
>
> [mm]det(\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }-\pmat{ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} \\ -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} & -\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}} })=0[/mm]
>
> Ich habe dann zur Ersparnis von Schreibarbeit gesagt [mm]\alpha =-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}-\bruch{EA}{ml}[/mm]
> und [mm]\beta[/mm] = [mm]-\bruch{EA}{ml2\wurzel{2}}[/mm] .
>
> Ich habe dann für die Determinante raus:
>
> [mm](\lambda[/mm] - [mm]\alpha)(\lambda[/mm] - [mm]\beta)- \beta^2=0[/mm]
>
> Mit der p/q Formel ergibt sich mir dann:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\bruch{\alpha+\beta}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-\alpha-\beta}{2})^2-\alpha\beta+\beta^2}[/mm]
>
Die Lösungen für [mm]\lambda_{1/2}[/mm] stimmen so.
> Wenn ich das dann resubstituiere erhalte ich nach
> stundenlangem Rumgerechne um 3 Uhr morgens
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\bruch{EA(-1-\wurzel{2})}{ml2\wurzel{2}}\pm\wurzel{\bruch{E^2A^2(1+\wurzel{2})}{m^2 l^2 4}}[/mm]
>
Das muss Du leider nochmal nachrechnen.
Kontrollergebnis:
[mm]\lambda_{1}=\[-\frac{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right) \,A\,E}{4\,l\,m}\][/mm]
[mm]\lambda_{2}=\[\frac{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}-2\right) \,A\,E}{4\,l\,m}\][/mm]
> Wenn ich ehrlich bin, dann glaube ich selber nicht an diese
> Lösung. Ich soll zu diesen Eigenwerten ja noch die
> passenden Eigenvektoren bestimmen und diese normieren und
> auf Orthogonalität prüfen.
>
> Habe ich in meiner Lösungsstrategie einen Fehler oder
> liegt es am falschen Rechnen?
>
> Viele Grüße und vielen lieben Dank für die Hilfe
>
> Robert
Gruss
MathePower
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