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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 02.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
ich will die EW der folgenden Drehmatrix ausrechnen:
[mm] \pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
(btw, ich weiß dass für vertauschtes sinusvorzeichen eine Drehmatrix vorliegt, die einen Punkt (x,y) in richtung des winkels [mm] \alpha [/mm] in positive richtung dreht...drehe ich in dem vorliegenden fall dann in negative richtung ? )
so, das ist zunächst auch kein problem ich habe also raus:
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 2cos\alpha \lambda [/mm] + [mm] cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] sin^{2}\alpha [/mm] = 0
der hintere teil ist 1, also hab ich
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 2cos\alpha \lambda [/mm] +1 = 0
p-q-Formel
[mm] \lambda [/mm] = [mm] cos\alpha [/mm] +- [mm] \wurzel{cos^{2}\alpha -1}
[/mm]
.... undjetzt hänge ich
laut der Lösung muss ich auf: "e^(+-EW)i" kommen, aber 1. versteh ich nicht mal, was genau damit gemeint ist 2. wie komme ich dahin?
Bin dankbar für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo cmueller,
> Hallo zusammen,
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> ich will die EW der folgenden Drehmatrix ausrechnen:
>
> [mm]\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\
-sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> (btw, ich weiß dass für vertauschtes sinusvorzeichen eine
> Drehmatrix vorliegt, die einen Punkt (x,y) in richtung des
> winkels [mm]\alpha[/mm] in positive richtung dreht...drehe ich in
> dem vorliegenden fall dann in negative richtung ? )
>
> so, das ist zunächst auch kein problem ich habe also
> raus:
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2cos\alpha \lambda[/mm] + [mm]cos^{2}\alpha[/mm] +
> [mm]sin^{2}\alpha[/mm] = 0
>
> der hintere teil ist 1, also hab ich
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2cos\alpha \lambda[/mm] +1 = 0
>
> p-q-Formel
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]cos\alpha[/mm] +- [mm]\wurzel{cos^{2}\alpha -1}[/mm]
>
> .... undjetzt hänge ich
> laut der Lösung muss ich auf: "e^(+-EW)i" kommen, aber 1.
> versteh ich nicht mal, was genau damit gemeint ist 2. wie
> komme ich dahin?
>
> Bin dankbar für jede Hilfe!
Schreibe [mm]\lambda=\cos(\alpha)\pm\sqrt{-\sin^2(\alpha)}=\cos(\alpha)\pm i\sin(\alpha)[/mm]
Jetzt benutze [mm]e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\sin(\phi)[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 02.04.2011 | | Autor: | cmueller |
ah klasse danke,
ich habs nicht so mit den trigonometrischen funktionen, da hakts immer...werde mir das wohl nochma zur gemüte führen^^
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> Hallo zusammen,
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> ich will die EW der folgenden Drehmatrix ausrechnen:
>
> [mm]\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> (btw, ich weiß dass für vertauschtes sinusvorzeichen eine
> Drehmatrix vorliegt, die einen Punkt (x,y) in richtung des
> winkels [mm]\alpha[/mm] in positive richtung dreht...drehe ich in
> dem vorliegenden fall dann in negative richtung ? )
>
> so, das ist zunächst auch kein problem ich habe also
> raus:
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2cos\alpha \lambda[/mm] + [mm]cos^{2}\alpha[/mm] +
> [mm]sin^{2}\alpha[/mm] = 0
>
> der hintere teil ist 1, also hab ich
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2cos\alpha \lambda[/mm] +1 = 0
>
> p-q-Formel
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]cos\alpha[/mm] +- [mm]\wurzel{cos^{2}\alpha -1}[/mm]
>
> .... undjetzt hänge ich
> laut der Lösung muss ich auf: "e^(+-EW)i" kommen, aber 1.
> versteh ich nicht mal, was genau damit gemeint ist 2. wie
> komme ich dahin?
>
> Bin dankbar für jede Hilfe!
Hallo cmueller,
die gesuchten Eigenwerte sollen doch wohl reelle
Zahlen sein. Oder doch nicht ?
Deine obige Gleichung für [mm] \lambda [/mm] kann aber nur dann
reelle Werte liefern, wenn [mm] cos^{2}\alpha=1 [/mm] ist,
denn für alle anderen [mm] \alpha [/mm] gilt ja [mm] cos^{2}\alpha-1<0 [/mm] .
Welche Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] können also überhaupt in
Frage kommen ?
Das Ergebnis kann man sich auch anschaulich ganz
klar machen, weil eine "Drehung" um den Nullpunkt
ja eben im Allgemeinen keinen einzigen Punkt (ausser
dem Nullpunkt selbst) so abbildet wie eine "zentrische
Streckung" mit Zentrum im Nullpunkt dies täte.
Also bleiben nur die "Ausnahmen" übrig, bei denen
kein Widerspruch entsteht.
LG Al-Chw.
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