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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Bestimm alle Eigenwerte und Eigenräume und ob die matriz diagonalisierbar ist.
[mm] A=\pmat{2 & 1 \\ 4 & 5 } [/mm] |
[mm] \lambda [/mm] Eigenwert <=> det (A- [mm] \lambda I_2) [/mm] =0
0= det [mm] \pmat{ 2- \lambda & 1 \\ 4 & 5-\lambda } [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] - 7 [mm] \lambda [/mm] 6
[mm] \lambda_1 [/mm] = 6
[mm] \lambda_2 [/mm] = 1
[mm] E_{\lambda_2} [/mm] = ker(A - 1 [mm] I_2)= [/mm] ker [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 4 & 4 }= <\vektor{1\\ -1}>
[/mm]
[mm] E_{\lambda_1} [/mm] = ker(A- 6 [mm] I_2) [/mm] = ker [mm] \pmat{ -4 & 1 \\ 4 & -1 }=<\vektor{1/4\\ 1}>
[/mm]
Ist die Matrix nun diagonalisierbar?
Schon oder? Weil [mm] \vektor{1/4 \\ 1}, \vektor{1\\ -1} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^2 [/mm] ist, die aus Eigenvektoren besteht.
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Hallo, ich habe das jetzt nicht auch nachgerechnet. Aber wenn das so stimmt, dann ist A diagonalisierbar, die Begründung stimmt. Bzw. ist auch eine Begründung, dass algebraische=geometrische Vielfachheit. Lg
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