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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 22.06.2012
Autor: Laura87

Aufgabe
[mm] A=\pmat{ 2& 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2\\ 1& 1& 3} [/mm]

a) Berechnen Sie die Eigenwerte [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm]  der Matrix A

b) Berechnen Sie die Eigenvektoren

Hallo,

die Lösung zu a) muss [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_3= [/mm] 5 lauten

Was ich gemacht habe ist folgendes:

[mm] p_A(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] E)= [mm] -\lambda^3+7\lambda^2-11 \lambda [/mm] +5

Nach Probieren mit [mm] \lambda=1 [/mm] erhalte ich durch Polynomdivision:

[mm] (-\lambda^3+7\lambda^2-11 \lambda +5):(\lambda-1)=-\lambda+6\lambda-5 [/mm]

Mit der PQ Formel bekomme ich [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=5 [/mm]

Wie kann man nun erkennen, dass der Eigenwert 1 doppelt vorkommt?

Würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Lg Laura

        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Fr 22.06.2012
Autor: Adamantin


> [mm]A=\pmat{ 2& 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2\\ 1& 1& 3}[/mm]
>  
> a) Berechnen Sie die Eigenwerte [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3[/mm]
>  der Matrix A
>  
> b) Berechnen Sie die Eigenvektoren
>  Hallo,
>  
> die Lösung zu a) muss [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] = 1 und
> [mm]\lambda_3=[/mm] 5 lauten
>
> Was ich gemacht habe ist folgendes:
>  
> [mm]p_A(\lambda)=det(A-\lambda[/mm] E)= [mm]-\lambda^3+7\lambda^2-11 \lambda[/mm]
> +5
>  
> Nach Probieren mit [mm]\lambda=1[/mm] erhalte ich durch
> Polynomdivision:
>  
> [mm](-\lambda^3+7\lambda^2-11 \lambda +5):(\lambda-1)=-\lambda+6\lambda-5[/mm]
>  
> Mit der PQ Formel bekomme ich [mm]\lambda_1=1[/mm] und [mm]\lambda_2=5[/mm]
>  
> Wie kann man nun erkennen, dass der Eigenwert 1 doppelt
> vorkommt?

Hast du doch beschrieben? Du hast [mm] $\lambda{}_1=1$ [/mm] geraten und im übriggebliebenen Polynom 2. Grades gab es eine weitere Nullstelle [mm] $\lambda{}_2=1$. [/mm] Damit hast du zweimal die Nullstelle 1 erhalten...wo ist jetzt genau dein Problem?? ;)

>  
> Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
>  
> Lg Laura


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Fr 22.06.2012
Autor: Laura87

hahaha ich bin doch doof xD habe die erratene Nullstelle vergessen :-)

vielen dank!

Bezug
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